Deje $T: V \to V$ ser lineal en el mapa tal que $T^2-3T+2I=0$.

Question

Deje $T: V \to V$ ser lineal en el mapa tal que $T^2-3T+2I=0$, donde $I$ es el mapa de identidad.

pregunta:

a) Demostrar que $V=\ker(T-2I) \oplus\ker(T-I)$

b) vamos a $A$ ser $n \times n$ matriz tal que $A^2-3A+2I_n=0$ Donde $I_n$ es el $n\times n$ matriz identidad. Verdadero o falso: $A$ es diagonalizable

He intentado $\ker(T-2I)=(T-2I)V=0$

$\ker(T-I)=(T-I)V=0$

Sé que la suma directa debe ser la combinación de $\ker(T-2T)$ e $\ker(T-I)$ es $0$, y no estoy seguro de cómo demostrarlo

Soy un estudiante de primer año de la McGill U. estoy haciendo lineal asignación de álgebra lineal. El libro de texto que estoy usando es Lineal Algebre edición sexta por SEYMOUR LIPAXHUTZ

Answer 1

Algunos consejos: Para mostrar $V= \ker(T-2I) \oplus \ker(T-I)$, usted necesita demostrar que

(i) $\ker(T - 2I) \cap \ker(T - I) = \{0\}$ y (ii) $\ker(T - 2I) + \ker(T - I) = V$.

(i) Dado $v \in \ker(T - 2I) \cap \ker(T - I)$, ¿qué se puede decir acerca de la $T(v)$? ¿Qué $v \in \ker(T - I)$ implica? ¿Qué $v \in \ker(T - 2I)$ implica?

(ii) Dado $v \in V$, luego $$ 0 = (T^2 - 3T + 2I)(v) = (T - 2I)((T - I)(v)) = (T-2I)(T(v) - v) \, . $$ ¿Qué dice esto acerca de la $T(v) - v$? Del mismo modo, $$ 0 = (T^2 - 3T + 2I)(v) = (T - I)((T - 2I)(v)) = (T-I)(T(v) - 2v) \, . $$ ¿Qué dice esto acerca de la $T(v) - 2v$?

Answer 2

Abarca la parte ya probada. Ahora bien, decir $v\in ker (T-2I)\cap ker (T-I)$. A continuación, $(T-2I)v=0$

$\Rightarrow (T-I)v=v $

$\Rightarrow v=0$