¿Es válida la versión geométrica del lema de Nakayama para las variedades lisas?

Question

Consideremos la siguiente formulación geométrica del lema de Nakayama.

Proposición. Sea $F$ sea una gavilla cuasi-coherente localmente de tipo finito sobre un esquema $X$ . Consideremos el mapa cociente $\pi:F_x\to F_x\otimes\Bbbk (x)$ . Dado $s_1,\dots ,s_n\in F_x$ supongamos que su imagen genera $F_x\otimes \Bbbk (x)$ . Entonces el $s_i$ se extienden a un barrio $U\subset X$ de $x$ sobre la que definen una flecha suryectiva $$(\mathcal O _X|_U)^n\overset{(s_1,\dots ,s_n)}{\longrightarrow}F|_U\to \bf 0$$ en $U$ . Cuando esto se cumple, decimos $s_1,\dots ,s_n$ generar $F$ en $U$ .

Sea $(M,\mathcal T_M)$ sea una variedad con el haz de secciones de su haz tangente. La dirección $x$ -fibra de $\mathcal T_M$ es el espacio vectorial de tangentes en $x$ . En $x$ -el tallo es el módulo de gérmenes en $x$ de campos vectoriales. ¿Sirve "Nakayama" para $(M,\mathcal T_M)$ ?

Answer 1

Sí, esto es cierto para cualquier haz de vectores $E$ en un colector liso $M$ . Sea $s_1,\dots,s_n$ sean secciones de $E$ en un barrio de $x$ cuyos valores en $x$ abarcan la fibra $E_x$ . Podemos suponer que los valores $s_1(x),\dots,s_n(x)$ son también linealmente independientes (si no, tome un subconjunto linealmente independiente máximo), por lo que $n$ es el rango de $E$ . Eligiendo ahora una trivialización local de $E$ podemos pensar en $(s_1,\dots,s_n)$ como mapa $A:U\to\mathbb{R}^{n\times n}$ para algún barrio abierto $U$ de $x$ . Desde $s_1,\dots,s_n$ son linealmente independientes en $x$ , $A(x)$ es una matriz invertible. El conjunto de matrices invertibles es abierto en $\mathbb{R}^{n\times n}$ Así que $A(y)$ es invertible para todo $y$ en algún barrio $V$ de $x$ .

Ahora dejemos que $s$ sea cualquier sección de $E$ en $V$ que consideramos un mapa $V\to\mathbb{R}^n$ a través de nuestra trivialización local. Para todo $y\in V$ , $s(y)=A(y)A(y)^{-1}s(y)$ . Las columnas de $A(y)$ son sólo $s_1(y),\dots,s_n(y)$ así que esto escribe $s(y)$ como combinación lineal $\sum f_i(y)s_i(y)$ . Aquí $f_i(y)$ es el $i$ coordenada del vector $A(y)^{-1}s(y)$ que es una función suave de $y$ (aquí utilizamos que la inversión de la matriz es suave). Entonces, $s=\sum f_i s_i$ es una combinación lineal de $s_i$ con coeficientes en $C^\infty(V)$ . Es decir, el $s_i$ generar las secciones de $E$ en $V$ como módulo sobre $C^\infty(V)$ .