Integral de la desigualdad con una extraña condición

Question

Deje $f$ ser continuamente diferenciable real de los valores de la función en $[0,1]$.

Se da eso $\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}f(x) dx=0$

Encontrar el mínimo valor de $\dfrac{\int_{0}^{1} (f'(x))^2 dx}{\left( \int_{0}^{1} f(x) dx \right)^2}$

Traté de usar de Cauchy-Schwarz para mostrar que $$\frac{\int_{0}^{1} (f'(x))^2 dx}{\left( \int_0^1 f(x) dx \right)^2} \ge \frac{\left( \int_0^1 \bigl| f(x)f'(x) \bigr| dx \right)^2}{ \left( \int_0^1 f(x) dx \right)^2} \ge \frac{ f(1)^2 - f(0)^2}{2 \left( \int_0^1 f^2 (x) dx \right)^2}$$ Pero no puedo pasar de aquí.

También, no sé cómo usar la condición de $\int_{1/3}^{2/3}f(x) dx=0$

Answer 1

La relación mínima es $27$, alcanzado por un definidas a trozos, cuadrática, polinomial en $x$.

Esta es una especie de espera. Cuando uno tira el funcional

$$\int_0^1 f'(x)^2 dx$$ a Euler-Lagrange ecuación y sujeto a las restricciones $$\int_0^1 f(x) dx = \text{constante}\quad\text{ y }\quad \int_{1/3}^{2/3} f(x) dx = 0$$ Encontrar la $f''(x)$ tiene que ser una constante a trozos. Se toma un valor de más de $[0,\frac13) \cup (\frac23,1]$ y otro valor en $(\frac13,\frac23)$. Lo que ha hecho es utilizar un CAS para determinar la correcta trozos, cuadrática, polinómica y, a continuación, compruebe que nos dan el mínimo.

---

Deje $X = \mathcal{C}^1[0,1]$ e $P,Q,C : X \to \mathbb{R}$ ser funcionales más de $X$ definido por

$$P(f) = \int_0^1 f'(x)^2 dx,\quad P(f) = \int_0^1 f(x) dx,\quad\text{ y }\quad C(f) = \int_{1/3}^{2/3} f(x) dx$$

La pregunta puede reformularse de la

¿Cuál es el mínimo de la relación de $\frac{P(f)}{Q(f)^2}$ para $f \in X$ sujeto a la restricción $C(f) = 0$.

Dado que la relación y la restricción de ambos son invariantes bajo la escala de $f$ por la constante, se puede restringir nuestra atención a los $f$ que satisface $C(f) = 0$ e $Q(f)$ igual a una constante específica.

Para cualquier $K \in \mathbb{R}$, vamos a $Y_K = \big\{\; f \in X : C(f) = 0, Q(f) = K\; \big\}$.

Considere la siguiente función por encima de la $[0,1]$

$$g(x) = \begin{cases} 4 - 27x^2, & x \in [0,\frac13]\\ 54(x^2-x) + 13, & x \in [\frac13,\frac23]\\ 4 - 27(1-x)^2, & x \in [\frac23,1] \end{casos}$$ Tenemos $$g'(x) = \begin{cases} -54x, & x \in [0,\frac13]\\ 54(2x-1),& x \in [\frac13,\frac23]\\ 54(1-x),& x \in [\frac23,1] \end{casos},\quad g"(x) = \begin{cases} -54, & x \in [0,\frac13) \cup (\frac23,1]\\ 108, & x \in (\frac13,\frac23) \end{casos}$$ No es difícil ver $g \in X$. Con un poco de esfuerzo, se puede comprobar $P(g) = 108$, $Q(g) = 2$ e $C(g) = 0$. Esto significa $g \in Y_2$.

Para otros $f \in Y_2$, es fácil ver $\eta = f - g \in Y_0$. Podemos descomponer $P(f)$ como sigue

$$P(f) = \int_0^1 (g'(x)+\eta'(x))^2 dx = \int_0^1 (g'(x)^2 + \eta'(x)^2 + 2g'(x)\eta'(x)) dx$$ Miremos a la cruz de término. Integrar, por parte y con el hecho de $g'(0) = g'(1) = 0$, nos encontramos con

$$\begin{align}\int_0^1 g'(x)\eta'(x) dx &= [ g'(x) \eta(x) ]_0^1 - \int_0^1 g''(x)\eta(x) dx\\ &= 54 \int_0^1 \eta(x) dx - 162\int_{1/3}^{2/3}\eta(x)dx\\ &= 54 Q(\eta) - 162 C(\eta) \end{align}$$ Desde $\eta \in Y_0$, $Q(\eta) = C(\eta) = 0$ y la cruz de término desaparece. Como resultado,

$$P(f) = P(g) + P(\eta) \ge P(g)$$ debido a $P(\eta)$ es no negativo. Junto con $Q(f) = Q(g) = 2$, obtenemos

$$\frac{P(f)}{Q(f)^2} \ge \frac{P(g)}{Q(g)^2} = \frac{108}{2^2} = 27$$

Como resultado,

$$\min\left\{ \frac{P(f)}{Q(f)^2} : f \X, C(f) = 0 \right\} = \min\left\{ \frac{P(f)}{Q(f)^2} : f \en Y_2 \right\} = 27$$