una serie infinita que implican impar zeta

Question

Corrí a través de un fresco de la serie que he estado tratando de derrumbar.

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta(2k+1)-1}{k+2}=\frac{-\gamma}{2}-6\ln(A)+\ln(2)+\frac{7}{6}\approx 0.0786\ldots$$

donde A = la Glaisher-Kinkelin constante. Numéricamente, es de aprox. $1.282427\ldots$

Empecé escribiendo zeta como una suma de conmutación y la suma de la orden

$$\sum_{n=2}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+2)n^{2k+1}}$$

La primera suma es la serie para $-n^3\ln(1-\frac{1}{n^2})-n-\frac{1}{2n}$

Por lo tanto, tenemos $-\sum_{n=2}^\infty \left[\ln(1-\frac{1}{n^2})+n+\frac{1}{2n}\right]$

Esta serie numérica de los cheques, por lo que estoy en algo. A primera vista, la serie parece que debería ser divergentes, pero no convergen.

Otra idea que tuve fue la de escribir la serie de la serie:

$$1/3(1/2)^{3}+1/4(1/2)^{5}+1/5(1/2)^{7}+\cdots +1/3(1/3)^{3}+1/4(1/3)^{5}+1/5(1/3)^{7}+\cdots +1/3(1/4)^{3}+1/4(1/4)^{5}+1/5(1/4)^{7}+\cdots$$

y así sucesivamente.

Esto puede ser escrito como $$1/3x^{3}+1/4x^{5}+1/5x^{7}+\cdots +1/3x^{3}+1/4x^{5}+1/5x^{7}+\cdots + 1/3x^{3}+1/4x^{5}+1/5x^{7}+\cdots $$

donde $x=1/2,1/3,1/4,\ldots$

Esto nos lleva a la serie representación de:

$$\frac{-\ln(1-x^2)}{x^3}-\frac{1}{x}-\frac{x}{2}$$

Desde $x$ es de la forma $1/n$, nos encontramos con la misma serie como antes.

Ahora, mi dilema. Cómo terminar?. Donde en el mundo hace que Glaisher-Kinkelin constante, y cómo puede que bonito cerrado de obtenerse?. Si de la serie tengo encima o por otros medios. Como de costumbre, seguramente es algo que se debe ver, pero no por el momento.

El GK constante tiene una forma cerrada de $$e^{\frac{1}{12}-\zeta^{'}(-1)}$$.

Lo que significa que un equivalente de la forma cerrada sería $\frac{-\gamma}{2}+\ln(2)+6\zeta^{'}(-1)+\frac{2}{3}$

Gracias a todos.

Answer 1

Tenemos $$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=2}^\infty\left( -n^3\log(1-\frac{1}{n^2})-n-\frac{1}{2n}\right)\\ &=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\left( -n^3\log(1-\frac{1}{n^2})-n-\frac{1}{2n}\right)\\ &=&\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=2}^N -n^3\log(1-\frac{1}{n^2})-\left(\frac{N^2+N-2}{2}\right)-\left(\frac{\log(N)}{2}-\frac{1}{2}+\frac{\gamma}{2}+O\left(\frac{1}{N}\right)\right)\right)\\ &=&\lim_{N\to\infty}[\sum_{n=2}^N (2n^3\log(n)-n^3\log(n+1)-n^3\log(n-1))-\left(\frac{N^2+N-2}{2}\right)-\left(\frac{\log(N)}{2}-\frac{1}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)] \end{eqnarray*} $$ En la suma en la última línea, podemos reunir a los coeficientes de cada logaritmo de (términos en el límite de la suma es un poco raro), dando $$ \begin{eqnarray*} &&\lim_{N\to\infty}[\sum_{n=2}^N(-6n\log(n))+\log(2)+(N^3+3N^2+3N+1)\log(N)-N^3\log(N+1)-\left(\frac{N^2+N-2}{2}\right)-\left(\frac{\log(N)}{2}-\frac{1}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)]\\ &=&\lim_{N\to\infty}[\sum_{n=2}^N(-6n\log(n))+\log(2)-N^3\log\left(1+\frac{1}{N}\right)+(3N^2+3N+1)\log(N)-\left(\frac{N^2+N-2}{2}\right)-\left(\frac{\log(N)}{2}-\frac{1}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)]\\ &=&\lim_{N\to\infty}[\sum_{n=2}^N(-6n\log(n))+\log(2)-N^3\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{2N^2}+\frac{1}{3N^3}+O\left(\frac{1}{N^4}\right)\right)+(3N^2+3N+1)\log(N)-\left(\frac{N^2+N-2}{2}\right)-\left(\frac{\log(N)}{2}-\frac{1}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)]\\ &=&\lim_{N\to\infty}[\sum_{n=2}^N(-6n\log(n))+\left(3N^2+3N+\frac{1}{2}\right)\log(N)+\left(\frac{-3}{2}N^2+\frac{7}{6}-\frac{\gamma}{2}+\log(2)\right)]\\ &=&-6\log\left(\lim_{N\to\infty}\left(\frac{\prod_{n=1}^N n^n}{N^{N^2/2+N/2+1/12}e^{-N^2/4}}\right)\right)+\frac{7}{6}-\frac{\gamma}{2}+\log(2)\\ &=&-6\log(A)+\frac{7}{6}-\frac{\gamma}{2}+\log(2) \end{eqnarray*} $$ Aquí, yo estoy tomando $$ A=\lim_{N\to\infty}\frac{\prod_{n=1}^N n^n}{N^{N^2/2+N/2+1/12}e^{-N^2/4}} $$ como la definición de la Glaisher-Kinkelin constante.