¿Qué es un formulario?

Question

He leído acerca de formas diferenciales, formas bilineales, formas cuadráticas y algunos otros r-lineal formas, pero todavía tengo este ápice de duda en mi mente sobre lo que es exactamente un formulario. Tengo una suposición de que es un aro de lo que un vector es un campo. Te pido disculpas si es repost o algo aunque.

Answer 1

Al principio me upvoted Michael Hoppe la respuesta de porque es una declaración verdadera, pero no creo que sea muy aborda el OP pregunta, ya que bilineal y $k$-lineal de las formas más general, no son ni lineales ni tener dominio $V$, y cuadráticas formas no son ni lineales en cualquier sentido.

Creo que tal vez la mejor respuesta hasta ahora fue dado por Dietrich Burde en los comentarios. Un formulario es sólo otra palabra para la función. Sin embargo, de que tal vez no es tan esclarecedor.

Todos los ejemplos que he mencionado tienen algunas cosas en común.

1. Todos ellos implican un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$
2. Todos ellos son funciones de un producto de los vectores en el espacio con la misma para el campo de tierra. I. e. todos ellos son de la forma $V\times V\times \cdots \times V=V^n\to K$.

En realidad no hay más similitudes que, sin embargo, y estas similitudes no podría mantener por todas las cosas que llaman formas. La clave de lo que determina el significado de la palabra "forma" significa que son los adjetivos en frente de ella.

Usted probablemente sabe lo que las cosas específicas que usted menciona son, pero sólo para resaltar sus similitudes y diferencias, y por eso yo digo que los adjetivos delante de la palabra "forma" son más importantes que la palabra "forma" en sí mismo, sus definiciones dadas a continuación.

Por ejemplo, un $k$-lineal y multilineal forma en $V$ es una función de $F(v_1,\ldots,v_k)$ de $V^k$ a $K$ tal que, siempre que el resto de los argumentos son constantes, el mapa de $v_i\mapsto F(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_k)$ es lineal en el mapa.

Una forma bilineal es sólo una $k$-lineal de la forma donde a$k=2$.

Una forma cuadrática es una función de $q$ de $V$ a $K$ tal que $f(tv)=t^2v$ para todos los $t\in K$, e $v\in V$ que $B(v,w):=q(v+w)-q(v)-q(w)$ es una forma bilineal en $V$.

Por último, un diferencial de $k$-forma (bueno, más o menos) en un espacio vectorial $V$ es $k$-lineal de la forma en $V$ que es alterna, lo que significa que $F(v_1,\ldots,v,\ldots,v,\ldots,v_n)=0$ cuando dos de los argumentos de la $k$-forma son iguales. Aunque usualmente un diferencial de formulario es un objeto en un colector que sin problemas asigna de lo que hemos llamado una forma diferenciada para el espacio de la tangente en cada punto de algunos subconjunto del colector.

Edit: he tenido un par de reflexiones que me gustaría añadir. user1551 comentario me recordó a mi primer sorprendente encuentro con la palabra "forma", que se me había olvidado hasta ahora. Cuando leí Fulton las Curvas Algebraicas, me sorprendió encontrar a su uso de la forma el significado de un polinomio homogéneo en un cierto número de variables. De hecho, la desprotección de la página de la wiki en polinomios homogéneos, en el final del primer párrafo, nos encontramos con las dos frases siguientes:

Una forma algebraica, o simplemente la forma, es una función definida por un polinomio homogéneo. [...] Una forma también es una función definida sobre un espacio vectorial, la cual puede ser expresada como una función homogénea de las coordenadas sobre cualquier base.

Esta última frase en particular unifica todos los ejemplos anteriores. Todos los ejemplos de los formularios que hemos enumerado satisfacer la definición que figura en la última frase de ese párrafo.

No obstante, me gustaría reiterar mi énfasis en la idea de que la forma de la palabra en sí es mucho menos importante que la de los adjetivos que preceden, ya que una de las preguntas relacionadas en la barra lateral, señala que las formas modulares no son formas de acuerdo a esta definición, se define únicamente en la mitad superior del plano complejo.

Answer 2

Si $V$ es un espacio vectorial sobre el campo $F$cualquier $F$valores lineal mapa con dominio de $V$ se llama a un formulario.