Antecedentes: La noción de un étale de morfismos ha demostrado ser omnipresente en el ámbito de la geometría algebraica. Aparte de la realización de una rica idea intuitiva, es el primer ingrediente en las nociones y teorías, tales como étale cohomology, un Galois de la teoría de los esquemas, y algebraicas de los espacios. Es seguro decir que, de las varias clases de morfismos que nos importan en la geometría algebraica, étale morfismos son entre los más importantes.
Pregunta: ¿Cómo es un a priori claro que étale morfismos son importantes, y en particular, ¿cómo podemos ver que étale morfismos son a menudo 'el derecho' lo que hay que mirar?
Ejemplo: se podría definir variantes de étale cohomology por la redefinición de la étale sitio utilizando ligeramente diferentes clases de morfismos. En algunas maneras en que esto se ha hecho, cosas como plana cohomology y Nisnevich cohomology son una cosa; sin embargo, étale cohomology decirse que es el más importante de estas variantes. ¿Qué es lo que distingue a étale cohomology aquí?
Ejemplo: podríamos reconsiderar la teoría de Galois reemplazando 'étale' con algo más, y a ver qué pasa. Probablemente este no llevan a ninguna parte (ya que de lo contrario alguien se ha escrito acerca de él). Tal vez, podríamos argumentar aquí que en el diferencial geométricos caso, uno pierde todas las esperanzas de una clasificación si se reemplaza "para cubrir el espacio" por algo un poco más débil. Pero no estoy del todo convencido por este.
Lo que yo sé: sé que a la gente le encanta contar la historia de cómo la topología de Zariski no tiene suficiente abre y queremos más. Sin embargo, esto no nos dice por qué debemos elegir específicamente étale morfismos en lugar de algo similar. También sé que, para acentuar la fuerza de la étale sitio, la gente dice que el étale sitio nos da una algebro-geométrico analógica en Función Implícita de la Teoría, sin embargo nunca he visto esto de forma explícita en la acción, ni creo que se puede explicar todo.
