En mi análisis complejo el libro que está buscando en una de la serie de Laurent de expresión para $f(z)$ alrededor de una singularidad $z_0$ que converge a $f(z)$ todos los $z\in C, z\neq z_0$. Los de Laurent de la serie se parece a $$f(z)=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}a_j(z-z_0)^j$$ Estamos integrando esta serie a lo largo de algunos simplemente se conecta cerrado contorno $\Gamma$ acostado en $C$ que va alrededor de la $z_0$, con una orientación positiva. (De modo que f(z) es analítica en todas partes y dentro de$\Gamma$, excepto en $z_0$). Se dice que podemos integrar termwise que hace un montón de sentido, pero de alguna manera la integral de todos los términos de $j\neq-1$ se dijo a desaparecer. Esto es extraño para mí, porque estos términos son de la forma $\frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2}, \frac{a_{-3}}{(z-z_0)^3}\ldots$ lo que significa que cada uno de estos términos tiene una singularidad en $z_0$ y por lo tanto la integral a lo largo de $\Gamma$ no debe desaparecer? Podría ser que me estoy perdiendo algo obvio, pero me parece que no puede averiguar. Consejos o sugerencias hacia una respuesta sería muy apreciada!
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Si $f(z)=\dfrac{1}{(z-z_0)^k}$ y $k\neq 1$, entonces el $F(z)=\dfrac{-1}{k-1}\dfrac{1}{(z-z_0)^{k-1}}$ $F'(z)=f(z)$ % todo $z\neq z_0$satisfacen. Si $\Gamma$ es una ruta de $a$ $b$ que evita $z0$, entonces el $\int{\Gamma}f(z)dz =F(b)-F(a)$. Por lo tanto, si está cerrado $\Gamma$, $\int_{\Gamma}f(z)dz = 0$.
Este argumento no aplica cuando $k=1$, porque $\dfrac{1}{z-z_0}$ no tiene ninguna primitiva definida por todas partes en $\mathbb C\setminus{z_0}$.
Por cierto, término por término integración se justifica en este caso por la convergencia uniforme sobre compactos conjuntos.
El integral alrededor de dicha "singularidad" es en realidad cero (suponiendo que $z_0=0$ para simplificar):
$$\int\gamma \frac{a{-k}}{z^k}dt=\int\limits0^1\frac{a{-k}}{e^{2k\pi it}}2\pi ie^{2\pi it}dt=2\pi i\int\limits0^1 \frac{a{-k}}{e^{2(k-1)\pi it}}dt$$
La última integral es cero $k\neq 1$ ya que esa función no tiene singularidades-> es holomorfa en una esfera de la unidad. Por lo tanto, de hecho, cada otro término de la serie de laurent se desvanece. Esto está representado por la también Teorema de residuo, si usted ya maneja en su lectura.
A excepción de $k=-1$, tenemos que $$ (z-z_0)^{k}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\frac{(z-z_0)^{k+1}}{k+1} $$ Por lo tanto, $$ \int_\gamma (z-z_0)^k\,\mathrm{d}z=\left.\frac{(z-z_0)^{k+1}}{k+1}\right]_{\gamma(0)}^{\gamma(1)} $$ donde $\gamma(0)$ es el comienzo de la curva y $\gamma(1)$ es el final de la curva. Desde $\gamma$ es una curva cerrada, $\gamma(0)=\gamma(1)$. Por lo tanto, $$ \int_\gamma (z-z_0)^k\,\mathrm{d}z=\left.\frac{(z-z_0)^{k+1}}{k+1}\right]_{\gamma(0)}^{\gamma(1)}=0 $$ Por lo tanto, $$ \int_\gamma\left(\sum_{k}a_k(z-z_0)^k\right)\,\mathrm{d}z=\int_\gamma a_{-1}(z-z_0)^{-1}\,\mathrm{d}z $$
