¿Qué es la matriz de transformación "por definición"?

Question

He tomado un curso de álgebra lineal hace dos semestres y hemos hablado de transformaciones lineales y matrices. Las matrices pueden representar transformaciones lineales.

Hoy en nuestra primera clase de ciencia computacional, el profesor comenzó recordando qué es una transformación lineal y qué es una matriz, y dijo que una matriz es no una transformación lineal, sino que es una representación de una transformación lineal con respecto a una base, lo cual estoy de acuerdo, pero no estoy convencido al 100%.

¿Podría dar una explicación completa y autocontenida de lo que mi profesor ha dicho hoy en clase?

La segunda pregunta que tengo está relacionada con esta videoconferencia sobre usted:

https://www.youtube.com/watch?v=trqq8Ot6vkc

En el minuto 2:10, el conferenciante del vídeo dice que la matriz

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 3\end{pmatrix}$$

define la transformación lineal

$$\begin{pmatrix} a \\ b \\c\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a + b \\ a- b \\ 3c\end{pmatrix}$$

lo que, en mi opinión, es un poco contradictorio con lo que mi profesor ha dicho hoy durante la clase. Él dice que esa matriz es la definición .

Creo que el profesor del vídeo está equivocado o al menos no ha explicado bien el concepto. Creo que debería haber dicho que esta matriz representa la transformación lineal con respecto a la base estándar, es decir

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}$$

pero no sabría exactamente cómo demostrar que estoy en lo cierto o equivocado, ya que he olvidado muchas cosas del curso que hice de álgebra lineal hace casi un año.

Answer 1

Una matriz, por ejemplo $A$ es sólo un montón de números dispuestos en una forma rectangular, mientras que una transformación, por ejemplo $T$ es un mapa entre dos conjuntos.

Son cosas diferentes.

Sin embargo, es posible representar una transformación lineal mediante una matriz. Por tanto, existe un mapeo entre ambas. Dada una matriz se puede obtener la transformación lineal y viceversa.

La idea es observar cómo actúa la transformación sobre los vectores base: $$ x' = T(x) = T(x_i \,e_i) = x_i T(e_i) = x_i b_{ij} e_j = b_{ij} x_i e_j $$ donde sumamos sobre las mismas variables de índice (convención de suma de Einstein) o $$ x'_i = a_{ij} x_j $$ con $A = B^{-1}$ , $A =(a_{ij})$ , $B = (b_{ij})$ .

Por lo tanto, la complicación es que hay que elegir una base, o sistema de coordenadas, para llegar a una matriz particular para una transformación lineal dada.

Si no se dice nada sobre la base elegida se puede asumir que se utiliza la base canónica. (Otra convención)

Parece que estamos de acuerdo.