Demostrar por inducción que $1+4+7+...+(3n-2) = 2n(3n-1)$

Question

Tengo un ejercicio en el que, utilizando la inducción, tengo que demostrar lo siguiente:

\begin {equation*} 1 + 4 + 7 + \ldots + (3n-2) = 2n(3n-1). \end {equation*}

Inmediatamente me quedé atascado en el caso base con $n=1$ porque lo siguiente debería ser cierto: $1 = 2 \cdot 1 \cdot (3 \cdot 1 - 1) = 2 \cdot 2$ lo que claramente no es el caso. Sin embargo el ejercicio dice que hay que demostrar la relación dada, no comprobar si es correcta, por lo que he optado por hacer este post para ver si se me escapa alguna cosa evidente.

Answer 1

En primer lugar, la afirmación es errónea. Una prueba directa lo demuestra.

La secuencia $\{1,4,7,\ldots,3n-2\}$ es una progresión aritmética con diferencia común $3$ y hay $n$ número de términos en él. Entonces, la suma de todos los términos es:

$$\begin{align}S =1+4+7+\ldots+(3n-2)&=1+(1+3)+(1+6)+\ldots+(1+3(n-1))&\\ &=\sum_{i=1}^n(1)+\sum_{i=1}^{n-1}(3i)\\&=n+3\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac{3n^2-n}{2}=\frac{n(3n-1)}{2}\neq 2n(3n-1)\end{align}$$

El " $\neq$ "se deduce en general. Ahora bien, si tuvieras que demostrar la afirmación corregida utilizando la inducción, aquí tienes una pista para el paso inductivo:

$$\begin{align}S_{n+1} & =1+4+7+\ldots+(3n-2)+(3n+1)\\ &=S_n+(3n+1)\\ &=\frac{n(3n-1)}{2}+(3n+1)\tag{by I.H.}\\&=\frac{3n^2-n+6n+2}{2}\\&=\frac{3n^2+5n+2}{2}\\&=\frac{(n+1)(3n+2)}{2}\\ & =\ldots\end{align}$$

Answer 2

Siempre se puede repetir Gauss:

$ \phantom{2}S = 1 + 4 + 7 + \cdots + (3n-2) $

$ \phantom{2}S = (3n-2) + (3n-5) + (3n-8) + \cdots + 1 $

$ 2S = (3n-1) + (3n-1) + (3n-1) + \cdots + (3n-1) = n(3n-1). $

Answer 3

$\displaystyle f_1(n) = \sum_{k\,=\,0}^{n-1} 3k\!+\!1,\ $ $\,f_2(n) = \dfrac{n(3n\!-\!1)}2\,$ son ambas soluciones de $\,f(n\!+\!1)-f(n) = 3n\!+\!1,\,$ con igual condición inicial $\,f(1)=1,\,$ por lo que la inducción implica que siguen siendo iguales para todos $\,n,\,$ ya que el paso de inducción es claro: $\, f_1(n\!+\!1) = f_1(n) + 3n\!+\!1 = f_2(n) + 3n\!+\!1 = f_2(n\!+\!1)$

Nota: $\ $ Este teorema de la unicidad es un caso especial de telescopio . Encontrará más ejemplos en puestos anteriores.