Intuitiva Enfoque de Rham Cohomology

Question

La intuición detrás de homología se puede resumir en una frase: para encontrar objetos sin límite que no son el límite de un objeto. Esto tiene sentido geométrico y explica el algebraicas límite operador $\partial$ - cociente de espacios vectoriales procedimiento. Por otro lado, la definición de de Rham cohomology viene siempre necesitadas de tal intuitiva. Mi pregunta es: ¿cómo puede ser comprendido intuitivamente de Rham cohomology?

(Por favor, consulte esta relacionada con la pregunta)

Answer 1

Esta es una forma de explicar la intuición detrás de de Rham cohomology:

Cohomolgy surge como una doble respuesta a la homología. Homología identifica la forma de un objeto de encontrar 'agujeros'. Más concretamente, se busca objetos sin límite que no son el límite de un objeto (y por lo tanto la definición de $H_k(M)=\text{ker}\partial_n/\text{im}\partial_{n+1}$).

Cohomology funciona de una forma completamente distinta. En lugar de buscar subespacios detección de agujeros, cohomology asigna un valor real a cada uno de los objetos en el espacio. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ podemos asignar a cada curva (orientado, con punto de partida y punto final) el valor de la $x$-proyección. Cuando la curva se desplaza rightwards, las ganancias de proyección, mientras que pierde la proyección cuando se mueve hacia la izquierda; eso es bueno si queremos que nuestra asignación de aditivos y diferenciables: si nuestra curva se divide en varias piezas, entonces es la misma para calcular el valor de la totalidad de la curva o para agregar los valores de los pequeños.

El ejemplo anterior es en realidad bastante simple; no importa la curva completa, sólo el $x$coordenadas del punto inicial y el punto final, de la que podemos calcular la diferencia. De hecho, una curva cerrada que tiene siempre el valor cero. Vamos a considerar una menos obvia ejemplo. En $\mathbb{R}^2$ tenemos un campo vectorial, $f(x,y)=(y,0)$. Podemos realizar la siguiente asignación: cada curva de $\gamma$ tiene el valor de la circulación de la integral de la $\int_{\gamma}f$. Como muestra la imagen, el valor no depende sólo el punto de partida y el punto final, porque las curvas que subir y luego bajar positivo de la circulación, pero las curvas que van hacia abajo y, a continuación, vaya hasta tener resultados negativos en la circulación. Por otra parte, una curva cerrada que tiene un valor distinto de cero de la circulación (en general); en la imagen, la pequeña curva cerrada que tiene un poco negativo en la circulación, debido a que en la parte superior que va en la dirección opuesta a la del campo y en la parte inferior es en la dirección del campo, pero el campo es más fuerte en la parte superior.

Un tercer ejemplo: en $\mathbb{R}^2\smallsetminus (0,0)$ consideramos que la asignación de barrido ángulo central. Este ejemplo se asemeja a la primera. Los datos importantes es el ángulo inicial y el ángulo final. Y es por eso que un poco de curva cerrada que tiene cero ángulo de barrido. Pero preste atención! En la segunda foto hay una curva que encierra el origen y que barre un ángulo de $2\pi$, contrario a lo que pensamos acerca de las curvas cerradas. Este fenómeno sólo es posible si hay agujeros en el espacio topológico: hemos dado el valor cero a las pequeñas curvas cerradas, aquellas que son el límite de un poco de disco, pero otros son los valores permitidos para las grandes curvas cerradas, aquellos que tal vez no son el límite de la nada. Es como si nos había dado valores a diferentes homológica de los objetos: 0 para las curvas no encierra el origen, $2\pi$ a aquellos que rodean el origen de una vez, $4\pi$ a aquellos que rodean el origen de dos veces, y así sucesivamente.

Como se ha dicho, queremos que nuestros asignación de aditivos. Por lo tanto, sólo necesitamos saber el valor que le asigne a, digamos, poco curvas, la pequeña superficie de las piezas o pequeños volúmenes. Esto se hace por medio de una forma diferenciada. Formas diferenciales de un local de valoración en cada punto y en cada dirección.

Formas diferenciales idioma es muy adecuado para la descripción de estos fenómenos. Los tres ejemplos anteriores son descritos por tres 1-formas en $\mathbb{R}^2$: $\alpha_1=\mathrm{d}x$, $\alpha_2=y\mathrm{d}x$ y $\alpha_3=\frac{-y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y$ (por favor, tenga en cuenta que el último no está definido en el origen). De Rham cohomology estudios de estas formas diferenciales y de lo que se denomina exterior derivado $\mathrm{d}$. En los casos primero y tercero, $\mathrm{d}\alpha_1=\mathrm{d}\alpha_3=0$ y es por eso que las pequeñas curvas cerradas tienen un valor cero, es decir, que $\alpha_1$ $\alpha_3$ están cerrados formas. $\mathrm{d}\alpha_2\neq 0$, lo $\alpha_2$ no es una forma cerrada. Por otro lado, $\alpha_1$ es exacta: $\alpha_1=\mathrm{d}(x)$, lo $x$ es la función evaluada en el punto inicial y el punto final, y esa es la razón de por qué las grandes curvas cerradas tienen valor cero, debido a que tienen la misma inicial y punto final. $\alpha_3$ no es exacto; estaremos encantados de decir que $\alpha_3=\mathrm{d}(angle)$, pero no hay tal $angle$ función definida en todos los $\mathbb{R}^2\smallsetminus (0,0)$, siempre vamos a caer en $2\pi$ pasos.

Así que para nuestro cohomological búsqueda de agujeros, debemos encontrar formas cerradas que no son exactos.