Enlace entre las superficies de Riemann y la teoría de Galois

Question

En mis notas para una Geometría de las Superficies supuesto que estoy estudiando, es la siguiente cita:

(Para aquellos de ustedes que les gusta el álgebra y la teoría de Galois) Estudiar compacto conectado superficies de Riemann es, de hecho, equivalente a estudiar la función de los campos de $K(S)$ que son extensiones algebraicas de $\mathbb{C}$ de la trascendencia de grado 1 (puramente algebraica problema). Esta $K(S)$ surge como el campo de las funciones de la suave curva proyectiva correspondiente a $S$.

Se dice para ver las Curvas Algebraicas curso para obtener más información, pero aparte del hecho de que podemos ver las curvas algebraicas como las superficies de Riemann de un determinado género (con el grado-género fórmula nos dice el número), yo realmente no tiene mucho de una idea de lo que esto está diciendo, especialmente la línea sobre el campo de las funciones de la suave curva proyectiva. También tengo ni idea de cómo la teoría de Galois se adapta a cualquier de esto, aunque acabo de terminar un curso en él (que es un poco preocupante...).

Supongo que esta es, quizás, una de mayores dimensiones analógica del hecho de que meromorphic funciones en $\mathbb{P}_\mathbb{C}^1$ formulario un campo, por lo que este puede ser extendido a mayor género de las superficies, pero no estoy demasiado seguro.

Podría alguien por favor me ilumine un poco en cuanto a lo que esto está diciendo? Suena muy interesante y me encantaría aprender más acerca de este solapamiento , pero no estoy seguro exactamente por dónde empezar. Sería bueno tener una respuesta con un breve resumen en esto, y no sólo algunas fuentes, ya que estoy realmente destinado a ser la revisión de exámenes, así que no tienen masas de tiempo en el momento de explorar los bits de matemáticas que me gustaría!

Answer 1

Las siguientes tres categorías son equivalentes:

1. Suaves curvas algebraicas proyectivas $\mathbb{C}$ y no constante algebraica de los mapas.
2. Compacto conectado superficies de Riemann y no constante holomorphic mapas.
3. El opuesto de la categoría de campo de extensiones de $\mathbb{C}$ de la trascendencia grado $1$ y morfismos de extensiones de $\mathbb{C}$.

Algunos de los functors entre estos son fáciles de describir. $1 \Rightarrow 2$ está dado por tomar el subyacente complejo múltiple de admisión, y $2 \Rightarrow 3$ está dado por tomar el campo de meromorphic funciones. Pero las pruebas de que estos son equivalencias es trivial (creo $1 \Leftrightarrow 2$ es duro y no recuerdo cómo duro $2 \Leftrightarrow 3$ es).

En particular, el estudio de finito extensiones de $\mathbb{C}(t)$ es equivalente a estudiar ramificada cubre de $\mathbb{CP}^1$ (en la algebraicas o la holomorphic categorías), que es como la teoría de Galois encaja en todo esto.