Demostrar que hay infinitos primos $P_i\equiv1\pmod6$

Question

Demostrar que existen infinitos números primos es bastante sencillo:

• Supongamos que existe un número finito de números primos.
• Sea $G$ sea el conjunto de todos primos $P_1,P_2,\ldots,P_n$ .
• Compute $K = P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_n + 1$ .
• Si $K$ es primo, entonces es obviamente no en $G$ .
• Por lo demás, ninguno de sus factores primos están en $G$ .
• Conclusión: $G$ es no el conjunto de todos primos.

Pensé que podría utilizar un método similar con el fin de probar:

• Hay infinitos primos $P_i\equiv1\pmod6$
• Hay infinitos primos $P_i\equiv5\pmod6$

Pero no parece ser tan sencillo... ¿alguna idea?

Answer 1

El caso de $5$ es fácil: un número entero $\equiv 5 \bmod 6$ debe ser divisible al menos por un primo $\equiv 5 \bmod 6$ . No creo que el caso de $1$ es tan simple. En general, el teorema de Dirichlet no es trivial.

Answer 2

Hay un viejo argumento (no sé la atribución correcta) para demostrar que hay infinitamente-muchos primos $=1 \mod N$ : let $f$ sea el $N$ -enésimo polinomio ciclotómico. Obsérvese que $p\mid f(n)$ implica que $n$ es una primitiva $N$ -enésima raíz de la unidad mod $p$ Así que $p=1\bmod N$ . Dada una colección finita $p_1,\ldots,p_k$ de primos $=1$ mod $N$ para un número entero suficientemente grande $\ell$ , $f(\ell\cdot p_1\ldots p_k)>1$ por lo que tiene algún factor primo...

Answer 3

Pista: $-3$ es un cuadrado módulo a un primo $p>3$ sólo si $p\equiv 1\pmod 3$ .

Así que cualquier número de la forma $X^2+3$ con $X$ uniforme y relativamente primo a $3$ sólo es divisible por primos $p$ de la forma $6k+1$ .

Answer 4

Si tachamos de la secuencia de enteros positivos todos los números divisibles por $2$ y todos los números divisibles por $3$ entonces todos los números restantes estarán en una de dos formas:

$S1(n)=6n1=5,11,17,...$ o $S2(n)=6n+1=7,13,19,....n=1,2,3,...$ Así que todos los números primos también estarán en una de estas dos formas y la relación 0f número de primos en la secuencia $S1(n)$ al número de primos de la secuencia $S2(n)$ tiende a ser $1$ .