En "Un Primer Vistazo al Riguroso de la Teoría de la Probabilidad" de J. S. Rosenthal es el siguiente ejercicio:
Demostrar que la debilidad de los límites, si existen, son únicos. Es decir, si $\mu, \nu, \mu_1, \mu_2, \ldots$ de probabilidad de medidas [en $(\Bbb{R},\mathcal{B}(\Bbb{R})$] y $\mu_n \Rightarrow \mu$, y también se $\mu_n \Rightarrow \nu$, $\mu = \nu$
Ahora la solución oficial:
Ok, yo tenía lugar la siguiente idea:
Si $\int f \, d\mu_n \overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \int f \, d\mu$ $\int f \, d\mu_n \overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \int f \, d\nu$ reales continuo delimitado función de $f$, para cualquier función también debe mantener (los límites son sólo los límites de los números reales!) que $$\int f \, d\mu = \int f \, d\nu\, .$$
Ahora el uso de los "trapecio como funciones" $f_n$
tenemos para un medio abierto intervalo de $(a, b] \subset \Bbb{R}$ pointwise límite $$\lim_{n\rightarrow \infty} f_n = \mathbf{1}_{(a, b]} \, . $$ Ahora el uso de convergencia dominada $$ \mu((a, b]) = \int \mathbf{1}_{(a, b]} \, d\mu = \int \lim_{n\rightarrow \infty} f_n \, d\mu = \lim_{n\rightarrow \infty} \int f_n \, d\mu = \lim_{n\rightarrow \infty} \int f_n \, d\nu = \int \lim_{n\rightarrow \infty} f_n \, d\nu = \int \mathbf{1}_{(a, b]} \, d\nu = \nu((a, b])\,. $$
El paso crucial aquí se $\lim_{n\rightarrow \infty} \int f_n \, d\mu = \lim_{n\rightarrow \infty} \int f_n \, d\nu$. Contrario a la función de indicador, el $f_n$ son continuos, por lo que este sigue, como hemos visto, a partir de $\mu$ $\nu$ siendo débil límites de la misma secuencia de medidas.
Dado que las medidas $\mu, \nu$ de probabilidad de las medidas y por lo $\sigma$-finito y tiene el mismo valor en el semi-anillo de semi-abierta intervalos, por Carathéodory extensión del teorema llegamos a la conclusión de que $\mu =\nu$.
Tendría que ser la solución correcta, demasiado?
