Dimensión combinatoria de un espacio topológico - Cadenas ascendentes versus descendentes

Question

El (combinatoria) dimensión de un espacio topológico se define como el supremum de las longitudes sobre todas las estrictamente ascendente cadenas de cerrados irreducibles de subconjuntos (por ejemplo, Hartshorne). Puede también ser definidas de manera similar aunque usando estrictamente descendente cadenas? Son las dos nociones equivalentes? Si no, lo que es más importante y por qué?

Editado: También, Atiyah-MacDonald definir la dimensión de Krull de un anillo mediante ascendente cadenas de primer ideales mientras Matsumura utiliza descendente cadenas. Cualquier conocimiento?

PS: Feliz Navidad :)

Answer 1

En tanto la definición de la combinatoria de la dimensión y la dimensión de Krull, usted está buscando en el supremum de longitudes de finito de cadenas de objetos, así que en realidad no importa que la definición de uso. La inversión de una ascendente de la cadena le da un descendente de la cadena y vica versa, sin cambiar la longitud.

Pero en otros contextos, cuando posiblemente infinita cadenas son de interés, el resultado nociones pueden no ser equivalentes. Por ejemplo, la mayoría de los Noetherian los anillos no son Artinian. Aunque todos ascendente de las cadenas de ideales en un Noetherian anillo son finitos, que todavía puede ser arbitrariamente largas. Lo mismo puede suceder ascendente para las cadenas de primer ideales en un Noetherian anillo (de manera que la dimensión de Krull de un Noetherian anillo puede ser infinito), aunque los contraejemplos son más artificiales.