¿Cuál es la mejor manera de resolver este ejercicio de secundaria?

Question

¿Puedes compartir conmigo cómo resolverías este ejercicio de la mejor manera para un estudiante de secundaria?

Muestra que $f(x)=x^2-6x+2$, $x\in(-\infty,3]$, es $1-1$ y encuentra su inversa.

Answer 1

Completa el cuadrado: $$f(x)=(x-3)^2-7$$

Esta es una parábola, apuntando hacia arriba, con vértice en $(3,-7)$. Puedes graficarla para obtener la parte "mostrar". Luego,

$$y=(x-3)^2-7$$ $$y+7=(x-3)^2$$ $$\sqrt{y+7}=|x-3|=3-x$$ (ya que $x<3$) $$x=3-\sqrt{y+7}$$ Así que $f(x)=3-\sqrt{x+7}$ es la inversa.

Answer 2

Además de lo que ha escrito vadim123, al demostrar que $f(x)$ es inyectiva en ese dominio, suponga que hay dos $u, v\in(-\infty, 3]$ tales que

$$\begin{align*} f(u) =& f(v)\\ u^2 - 6u + 2 =& v^2 - 6v + 2\\ u^2 - v^2 =& 6u - 6v\\ (u-v)(u+v-6) =& 0 \end{align*}$$

Entonces o bien $u=v$, o $u+v = 6$. Para el segundo caso, como $u\le 3$ en el dominio, $$v=6-u\ge6-3=3$$ esto hace que $v=3$ y por lo tanto $u=6-v = 3=v$. De todos modos, $f(u)=f(v)$ implica que $u=v$.

Answer 3

Pista: Para demostrar que la función es inyectiva, utiliza la definición

$$ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1 = x_2 .$$