Esta es una pregunta de un físico, así que por favor sean amables.* Supongamos que $M$ es un orientable suave colector sin límites y $\omega$ un formulario de un grado apropiado de tal manera que puede ser integrado a través de $M$, $$ I=\int_M \omega. $$ El objetivo es calcular los $I$. De acuerdo a la Poincaré o Dolbeault-Grothendieck lema (real y complejo de colectores, respectivamente), a nivel local (en algunos coordinar barrio, $U_i$ donde $M$ se ve como un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$, $n$ un entero positivo, y porque no quiero restringir el alcance escribiré $\mathbb{K}$ para cualquiera de los dos campos) $\omega$ es exacta, $$ \omega_i=dA_i, $$ donde $A_i$ es algunos diferencial de la forma definida en el $U_i$ del grado apropiado. Si $A_i$ fueron definidos a nivel global (en cuyo caso supongo, $A_i=A$, para todos los $i$), entonces se podría aplicar Stokes teorema, $$ \int_MdA = \oint_{\partial M}A=0, $$ y aprender que $I=0$ (debido a $\partial M$ es null). Estoy en el desafortunado (y creo que muy común) situación en la que sólo sé $\omega$ locales (en particular tengo una expresión explícita para $A_i$) y quiero calcular $I$. Así que mi primera pregunta es la siguiente:
- Lo que precisamente significa para $A_i$ a ser sólo a nivel local y no definidos a nivel global? ¿Cómo puedo comprobar si mi $\omega_i$ es a nivel mundial o sólo a nivel local exacta dado sólo una explícita la expresión local para $A_i$ y la correspondiente transición de las funciones de gráfico se superpone? Por ejemplo, podría ser cierto que en el orden de $A_i$ a ser definidos a nivel global se debe transformar en virtud de los cambios de las coordenadas de un tensor antisimétrico (en el gráfico se superpone, $U_i\cap U_j$), y esto podría ser suficiente para $A_i$ a ser definidos a nivel global?
Supongamos ahora que estoy en la afortunada situación donde yo sé la respuesta a esta pregunta, y he llegado a la conclusión de que $A_i$ no está definido globalmente y que, por ende, $\omega$ no es globalmente exacta. La siguiente pregunta es:
- ¿Cómo puedo explícitamente reconstruir $I$ dado el explícito expresión local $\omega_i=dA_i$ $U_i$ y la correspondiente transición de las funciones de revisión se superpone $U_i\cap U_j$?
Para ser un poco más precisos que aquí estoy, implícitamente, considerando un atlas de las $M$, es decir, una familia de gráficos, $\{(U_i,\phi_i)\}$, $\{U_i\}$ una familia de abiertos conjuntos tales que a $\cup_i U_i=M$, e $\phi_i:U_i\rightarrow \mathbb{K }$ un homeomorphism de $U_i$ a un subconjunto abierto de $\mathbb{K}$ (en particular, los mapas de $\phi_i$ se consideran conocidos e identificados con un cómodo conjunto de coordenadas locales). El caso de los intereses es cuando la transición de las funciones de $f_{ij}=\phi_i\circ \phi_j^{-1}$ $\phi_j(U_i\cap U_j)$ $\phi_i(U_i\cap U_j)$ $C^{\infty}$y también se conoce.
Para la pregunta 2 de Stokes teorema viene al rescate, dado que en un parche $U_i$, $$ \int_{U_i}dA_i = \oint_{\partial U_i}A_i, $$ pero, ¿cómo exactamente una suma de más de $i$ a reconstruir la totalidad integral $I$ haciendo uso de la transición de las funciones que se asignan $A_j$ $A_i$sobre el parche se superpone?
*He vuelto a reescribir la pregunta porque después de una amplia discusión con @John Hughes (a quien creo que me molesto un poco, ver a continuación) y su correspondiente buenos comentarios, se hizo muy claro que mi intención no es una cuestión claramente formulado.
