Considere el polinomio de la serie definida por la siguiente fórmula de recursión:
$$ \begin{align} &\mathrm{P}_0 = 1 \\ &\mathrm{P}_1 = x-r \\ &\mathrm{P}_n = x\mathrm{P}_{n-1} - r\mathrm{P}_{n-2} \\ \end{align} \etiqueta{1} $$
donde $r \in \Bbb{R}_+$
¿Cuáles son las raíces de $\mathrm{Q}_n(x)$, que se define como
$$ \mathrm{Q}_n = \mathrm{P}_{n+1} - \mathrm{P}_{n} \etiqueta{2} $$
Puede una fórmula para estos ceros se encuentran? La recursividad relación de $\mathrm{P}_n$ es similar a las definiciones de los polinomios de Chebyshev y de Fibonacci polinomios, por lo que sospecho que una manera de calcular sus raíces debe existir como bien, pero no sé lo que es. Interestigly el numéricos de los coeficientes (sin las diversas potencias del parámetro $r$) se enumeran en OEIS secuencia A108299.
El primer par de $\mathrm{Q}_n$
$$ \begin{align} & \mathrm{Q}_1 = \mathrm{P}_1 - \mathrm{P}_0 = x -(r+1) \\ & \mathrm{Q}_2 = \mathrm{P}_2 - \mathrm{P}_1 = x^2 -(r+1)x \\ & \mathrm{Q}_3 = \mathrm{P}_3 - \mathrm{P}_2 = x^3 -(r+1)x^2 - rx + r(r+1) \\ & \mathrm{Q}_4 = \mathrm{P}_4 - \mathrm{P}_3 = x^4 -(r+1)x^3 -2rx^2 +2r(r+1)x \\ & \mathrm{Q}_5 = \mathrm{P}_5 - \mathrm{P}_4 = x^5 -(r+1)x^4 -3rx^3 +3r(r+1)x^2 + r^2 x - r^2(r+1) \\ & \mathrm{Q}_6 = \mathrm{P}_6 - \mathrm{P}_5 = x^6 -(r+1)x^5 -4rx^4 +4r(r+1)x^3 + 3r^2 x^2 - 3r^2(r+1)x \\ & \mathrm{Q}_7 = \mathrm{P}_7 - \mathrm{P}_6 = x^7 -(r+1)x^6 -5rx^5 +5r(r+1)x^4 + 6r^2 x^3 - 6r^2(r+1)x^2 - r^3 x + r^3(r+1) \\ & \mathrm{Q}_8 = \mathrm{P}_8 - \mathrm{P}_7 = x^8 -(r+1)x^7 -6rx^6 +6r(r+1)x^5 +10r^2 x^4 -10r^2(r+1)x^3 -4r^3 x^2 + 4r^3(r+1)x \\ \end{align} $$
La magnitud de las numéricos de los coeficientes que aparecen en OEIS A011973 (con la diferencia de que aquí se duplicó).
También propongo estas conjeturas, de los cuales sólo uno (#2) he sido capaz de demostrar:
- $r+1$ es raíz de todos los $\mathrm{Q_n}$
- $0$ es una raíz de todas las $\mathrm{Q_n}$ de su pedido ($n$ incluso)
- si $\mathcal{R}$ es una raíz y $\mathcal{R} \neq r+1$ $-\mathcal{R}$ es también una raíz.
- todas las raíces de $\mathrm{Q}_n$ tiene multiplicidad $1$ (son solo las raíces).
Este problema está relacionado con resolver el sistema lineal describo aquí.
No sé cómo hacer frente a este problema en general, la ayuda será muy apreciada!
