¿La categoría funcional entre dos categorías pequeñas no es pequeña?

Question

Deje $C,D$ dos categorías pequeñas, es decir, pequeños conjuntos de objetos $O_C, O_D$ y pequeñas hom-conjuntos de $\mathrm{Hom}_C(c,c')$$\mathrm{Hom}_D(d,d')$.

El conjunto de objetos de $D^C$ es el conjunto de todos los functors $F : C \to D$, y un objeto está determinado por un conjunto de funciones, es decir, su función $O_C \to O_D$ sobre los objetos y sus funciones en hom-conjuntos de $\mathrm{Hom}_C(c,c') \to \mathrm{Hom}_D(Fc, Fc')$ ; ya que todos los conjuntos de involvled son pequeñas y el producto de los pequeños conjuntos indexados por un pequeño conjunto es otra vez la pequeña, el conjunto de objetos de $D^C$ es otra vez la pequeña.

Ahora vamos a $F,G : C \to D$ dos functors ; el hom-establecer $D^C(F,G)$ tiene para los elementos de las colecciones de morfismos $Fc \to Gc$, es decir, los elementos de los hom-conjuntos de $D$. Por lo tanto una transformación natural es un elemento del producto a través de todas las $c \in O_C$ de los hom-establece entre el$Fc$$Gc$, y por el mismo razonamiento, llegamos a la conclusión de que $D^C(F,G)$ está contenida en un conjunto pequeño, lo pequeño.

Entonces, ¿por qué Mac Lane me dicen que el hom-conjunto de un functor categoría no necesita ser pequeño? O ¿dónde está mi error? No me malinterpreten algo? (Página 40, justo antes de que el último párrafo).

Answer 1

Todo lo que dices es correcto. No tengo Mac Lane delante de mí en este momento, pero supongo que en realidad solo asumió que$C$ y$D$ eran localmente pequeños, por lo que aunque cada conjunto de Hom-Set es pequeño, el conjunto de objetos puede ser grande.