Flujo en colectores y soporte de la mentira.

Question

Actualmente estoy leyendo algunas notas sobre la Teoría de la Mentira online, y me he tropezado a través de la siguiente pregunta, de la que estoy totalmente perplejo.

"Vamos X,Y dos de trayecto completo de campos vectoriales sobre una variedad M, que es $[X,Y]=0$. Demostrar que el campo de vectores X+Y es completa y que el flujo de X+Y es dada por $\phi_{t,X+Y}(p)=\phi_{X,t}\circ \phi_{Y,t}(p)$ donde $\phi_{t,X}$ representa el flujo del campo vectorial X,y así sucesivamente."

Yo no tengo ningún problema, mostrando que el campo vectorial es completa. Sin embargo, es el flujo de la parte que me molesta. Hasta ahora he intentado lo siguiente: Ver el $h(s,t,p) = \phi_{X,t}\circ \phi_{Y,s}(p)$, para algunos el punto p. Set $c(t,p) = h(t,t,p)$. Tenemos, entonces, después de la diferenciación que $\frac{d}{dt}_{t=0}c(t,p) = D_1h(0,0,p)+D_2h(0,0,p)$.Desde $h(t,0,p)=\phi_{t,x}(p)$ $h(0,t,p) = \phi_{t,Y}(p)$ tenemos que $D_1h(0,0,p) = X(p)$, e $D_2h(0,0,p) = Y(p)$ y por lo tanto, el flujo es $X(p)+Y(p)$.

Answer 1

Es fácil demostrar que si $\phit$ es un grupo de un parámetro de diffeomorphisms con la propiedad que $\frac{d}{dt}\vert{t=0} \phi_t(p) = X_p$ % todo $p$, entonces el $\phit$ es el flujo de $X$. Así que basado en lo que has demostrado, ahora necesita demostrar que $\phi{t,X} \circ \phi_{t,Y}$ es un grupo de un parámetro de diffeomorphisms. Para probar esto usted tendrá que mostrar que los flujos de $X$ y $Y$ viaje, que se desprende el commutativity de $X$ y $Y$ (que no he trabajado todos los detalles pero esto es un hecho conocido).