Una forma de abordar este problema es pensando en reducts. Un reducto de una estructura es una estructura con la misma base pero menos, bueno, estructura: tomamos la estructura original y sólo se "olvide" de parte de ella. (Véase también el término "olvidadizo functor," que también voy a mencionar a continuación.)
La clave de la reducción de aquí es que los grupos semigroups. Cualquier grupo de $\mathcal{G}=(G; *, ^{-1}, e)$ puede ser visto como un semigroup (= un conjunto con una operación binaria asociativa) por "olvidar" acerca de la estructura adicional: vamos a $\mathcal{S}_\mathcal{G}=(G;*)$. No todos los semigroup surge de un grupo de esta manera, pero cada grupo da lugar a un semigroup de esta manera.
El elemento de identidad y la operación inversa son "redundante" en los siguientes sentidos:
Supongamos $\mathcal{G},\mathcal{H}$ son grupos que $\mathcal{S}_\mathcal{G}\cong\mathcal{S}_\mathcal{H}$. A continuación,$\mathcal{G}\cong\mathcal{H}$.
Supongamos $f:\mathcal{S}_\mathcal{G}\rightarrow\mathcal{S}_\mathcal{H}$ es un semigroup homomorphism. A continuación, $f:\mathcal{G}\rightarrow\mathcal{H}$ es un grupo homomorphism. (Hay un poco de abuso de notación pasando aquí, pero se debe tener claro lo que está pasando.) Esto es esencialmente lo que estamos hablando en el OP.
Ahora lo interesante es que estas dos observaciones "en directo en diferentes niveles:" la primera de la siguiente manera totalmente del hecho de que $^{-1}$ $e$ son definibles de $*$ solo en un sentido preciso, mientras que el segundo utiliza algo específico acerca de los grupos. A ver lo que quiero decir sobre el segundo, pensar en la situación con monoids. De nuevo, cada monoid produce un semigroup por el "olvido" de la identidad, pero semigroup homomorphisms entre semigroups derivadas de monoids son no homomorphisms en los monoids!
Por ejemplo, supongamos $M_2$ ser el monoid con el conjunto subyacente $\{0, 1\}$, operación binaria $\max$ ($a \max b$ es sólo el máximo de $a$$b$), y el elemento de identidad $0$, y considere la función $f:\{0, 1\}\rightarrow\{0, 1\}$ el envío de ambos $0$$1$$1$. La función de $f$ es un semigroup homomorphism de la semigroup recibido de $M_2$ a sí mismo, pero no es un monoid homomorphism de $M_2$ a sí mismo, ya que no envía a la identidad a la identidad. La clave algebraicas hecho aquí es que monoids no cancellative.
Así que podemos ver que hay un par de cosas en el juego aquí:
La idea de "olvidar" la estructura de las palabras clave aquí son "olvidadizo functor" (a partir de la categoría de la teoría) y "reducto" (desde el modelo de la teoría).
La noción de "definability" (mis primeros puntos anteriores; este es un concepto clave del modelo de la teoría).
Las propiedades algebraicas de estructuras complejas que se relacionan con morfismos entre más simple de los tipos de estructuras (por ejemplo, la cancelación en el semigroups-de-grupos frente a semigroups-de-monoids punto anterior; este es un tema clave en álgebra universal).
Los tres temas que saltan a la mente como relevante aquí - además de álgebra abstracta, por supuesto, que creo que es un poco menos centrado en los problemas específicos que usted está interesado en, y que sospecho que ya eres consciente de - son el modelo de la teoría, de la categoría de teoría, y álgebra universal. Francamente, estoy un modelo de la teoría del partisano: creo que probablemente coincide muy bien con las ideas que tienes y algo como Hodges' libro de texto también habla acerca de las interesantes cuestiones algebraicas con homomorphisms. Pero la categoría de la teoría y álgebra universal también tienen mucho que elogiar a ellos, y, en particular, la categoría de la teoría es algo que definitivamente va a querer aprender por el camino.
Vale la pena señalar que la idea de reducts no nos aleja de hablar acerca de los elementos, y, de hecho, el ejemplo anterior muestra que los grupos forman un caso especial en este contexto. Sin embargo, hay algunos momentos en los que podemos obtener de hablar acerca de los elementos. Estos a menudo aparecen en álgebra universal. Por ejemplo, y cerca en espíritu a lo que usted describe anteriormente, dada una expresión algebraica de la estructura (como un grupo), podemos considerar el "congruencias" en la estructura (piensa en el "cociente de grupos"); el congruencias forman una celosía, llamada la "congruencia de celosía," y podemos trabajar con esta red como una estructura algebraica en sus el propios. De hecho, la congruencia de la celosía es un importante objeto de estudio en álgebra universal!
(También vale la pena señalar que la categoría de la teoría de la toma de sonido similar actitud ", un nivel más alto:" se prescinde totalmente del "interior" de la estructura de los grupos, y los estudios de la categoría de grupos - esta es la clase de todos los grupos, junto con el grupo de homomorphisms, el punto es que (a menudo) las propiedades importantes de los grupos son las formas en que interactúan unos con otros en lugar de lo que parecen específicamente. Esto está estrechamente relacionado con lo que estamos hablando en el espíritu, pero creo que no es realmente la misma cosa; sin embargo, es importante y parece grosero, no mencionar).
