Demostrar

Question

¿Alguien puede probar que$$a^{\log_bc}=c^{\log_ba}$ $ he intentado usar álgebra pero siempre obtengo$a=a$$c=c$ o$b=b$. A veces me sale la misma propiedad pero ahora se voltea. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Tome$\log_b$ de ambos lados:$$a^{\log_bc}=c^{\log_ba}$ $$$\iff\log_ba^{\log_bc}=\log_bc^{\log_ba}$ $$$\iff\log_bc\log_ba=\log_ba\log_bc$ $ Esta última igualdad es trivialmente cierta por la conmutación de la multiplicación.

Answer 2

Insinuación:

Tome$\log_b$ en ambos lados.

Answer 3

tomando el logaritmo natural en ambos lados obtenemos $$\log{b}{c}\ln(a)=\log{b}{a}\ln(c)$ $ y esto puede ser escrito como $$\frac{\ln(c)\ln(a)}{\ln(b)}=\frac{\ln(a)\ln(c)}{\ln(b)}$ $ que es lo mismo

Answer 4

Comenzar con el lado izquierdo, que $y=a^{\log_b c}$

$$\log_b y = \log_b a^{\log_b c}=\log_b c\log_b a = \log_b c^{\log_b a}$$

Así, $\log_b y = \log_b c^{\log_b a}\implies y = c^{\log_b a}$ y así

$$a^{\log_b c}=y=c^{\log_b a}$ $ LADO IZQUIERDO = LADO DERECHO

Answer 5

Para la diversión:

Comience con la identidad:

$\log_b(c) \cdot \log_b(a) = \log_b(c)\cdot \log_b(a);$

Tomar el $\exp_b$ de ambos lados:

$\exp_b(\log_b(c) \log_b(a))=$

$ \exp_b(\log_b(a)\log_b(c))$;

$\exp_b(\log_b(a)^{\log_b(c)})=$

$\exp_b(\log_b(c)^{\log_b(a)}).$

Por lo tanto:

$a^{\log_b(c)}= c^{\log_b(a)}$