¿Cuál es tu definición de Integral de Riemann-Stieltjes?

Question

Estoy estudiando Rudin-PMA y la definición de aquí es diferente de la de la Wikipedia.

Rudin PMA página 122

Wikipedia

Rudin dice la condición de que "el integrador debe ser monótona creciente y el integrando debe ser delimitada $[a,b]$" es necesaria para definir la Integral de Stieltjes.

Pero la wikipedia define integral de Stieltjes, no asumiendo la condición anterior.

Estoy confundido ahora.. Que la definición debería usar?

EDITAR:

Deje $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ funciones.

Supongamos $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0$ tal que $\operatorname{mesh}(P)<\delta \implies |S(P,f,g)-A|<\epsilon$.

A continuación, se $f$ delimitada y $\inf U(P,f,g) = \sup L(P,f,g)=A$? (donde $U(P,f,g)=\sum_{i=1}^n M_i |g(x_i) - g(x_{i-1})|$).

Answer 1

Considere el siguiente un poco más de definición explícita:

Supongamos $f$ $\alpha$ están delimitadas real de las funciones con valores en $[a,b]$ y tenemos una partición de $P=\{x_0,\dotsc,x_n\}$ $[a,b]$ y un conjunto de etiquetas de $T = \{t_1,\dotsc,t_n\}$ $t_i \in [x_{i-1},x_i]$ . Entonces llamamos a

$\qquad \displaystyle S_\alpha(f,P,T) := \sum_{i=1}^n f(t_i) \bigl[\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})\bigr]$

una de Riemann–Stieltjes suma de $f$ con respecto al $\alpha$.

Decimos que $f$ es Riemann–Stieltjes integrable con respecto a $\alpha$ y escribir $f \in \mathcal R_\alpha[a,b]$ cuando existe un número $I \in \mathbb R$ tal que para cada a $\epsilon > 0$ no es una partición de a $P_\epsilon$ tal para todos los más finos tabiques $P \supseteq P_\epsilon$ y todas las opciones de las etiquetas de $T$ compatible con $P$:

$\qquad \displaystyle |S_\alpha(f,P,T)-I|<\epsilon$

y en ese caso escribimos $\int_a^b f\,d\alpha = I$; o $(RS)\int_a^b f\,d\alpha=I$ si queremos destacar que nos referimos a la de Riemann–Stieltjes integral.

Usted puede fácilmente convencerse a sí mismo que el de arriba es esencialmente una reformulación de la definición de la página de la Wikipedia. Es también una ligera reformulación de un pasaje de Neal L. Carothers - Análisis Real, Cambridge University Press, 2000. Google libros (incompleta), de Amazon.

En esa sección, "Integradores de Variación Acotada", también comenta que para $\alpha$ incremento tenemos para todas las particiones que $L(f,P,\alpha) \leq S_\alpha(f,P,T) \leq U(f,P,\alpha)$. En particular, es fácil mostrar que la integral en contra de un aumento de la función $\alpha$ define usando la parte superior e inferior de sumas de dinero (también llamado el Darboux–Stieltjes integral, escrito $(DS)\int_a^b f\,d\alpha$ si uno quiere ser explícito) coincide con la de Riemann–Stieltjes integral.

Pero superior e inferior de las sumas no necesariamente tienen sentido cuando se $\alpha$ es sólo supone de variación acotada. Sin embargo Carothers tiene como Ejercicio 39 en el Capítulo 14 para demostrar que uno puede calcular la Riemann–Stieltjes integral de la $\int_a^b f\,d\alpha$ utilizando la descomposición de Jordan $\alpha = p-n$ como la diferencia de dos Darboux–Stieltjes integrales, es decir,

$\qquad\displaystyle (RS)\!\int_a^b f\,d\alpha = (RS)\!\int_a^b f\,dp - (RS)\!\int_a^b f\,dn = (DS)\!\int_a^b f\,dp - (DS)\!\int_a^b f\,dn$,

donde la primera igualdad es sólo la linealidad en el integrador de la de Riemann–Stieltjes integral y la segunda igualdad es la que requiere un poco de trabajo.

Answer 2

No creo que Rudin dice que las condiciones son necesarias para definir la integral (aunque no puedo comprobarlo ahora). Monotonía es el integrador y fronteridad del integrando es suficiente, pero también puede salir con el integrador es de variación acotada (e integrando limitada) o con funciones siendo Hölder continuo y la suma de lo correspondiente Hölder exponentes es mayor que 1.