Encontrar $g:\mathbb{R}^m\to V$ tal que $g(x)\notin\mathrm{span}\{f_1(x),\ldots,f_k(x)\}$ todos los $x\in\mathbb{R}^m$.

Question

Deje $V$ $n$- dimensiones reales de espacio vectorial y dejar $$f_1,\ldots,f_k:\mathbb{R}^m\to V$$ ser $k<n$ liso funciones. Es intuitivamente obvio que siempre podemos encontrar una función suave $g:\mathbb{R}^m\to V$ tal que $$g(x)\notin\mathrm{span}\{f_1(x),\ldots,f_k(x)\}$$ para todos los $x\in\mathbb{R}^m$.

Sin embargo, no puedo encontrar una manera de demostrarlo. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Contraejemplo: Tome $m= 2, V=\mathbb R^2, k=1.$ Definir $f_1(x,y) = (x,y).$ Supongamos que hay un $g$ en esta situación. A continuación, $g$ nunca puede desaparecer. En particular, $g(0,0)\ne (0,0).$

Así que ahora piense en esto: En un pequeño barrio de $(0,0),$ $g\approx g(0,0),$ un vector distinto de cero. Por lo $g$ tiene casi constante de la dirección en este barrio. Por otro lado, $f_1$ toma en cada dirección en cada eliminados barrio de $(0,0).$ Se sigue que $f_1(x,y),g(x,y)$ será paralelo* en algún lugar en un barrio (de hecho en muchos puntos). En cualquier punto, tenemos $g(x,y)$ en el lapso de $f_1(x,y).$

*Usted puede comprobar esto rigurosamente por el uso del producto, señalando que es positivo para algunos $(x,y)\ne (0,0),$ negativo para otros $(x,y)\ne (0,0),$, e invocando el teorema del valor intermedio para ver es $0$ algunos $(x,y)\ne (0,0).$