Demostrando que una secuencia en la $L^2(\mathbb R)$ es relativamente compacto

Question

Tengo un almacén de secuencia $\{f_n\}_n$ $L^2(\mathbb R)$ tal que $\mbox{supp } f_n$ es uniformemente acotada y $$ \int_{\mathbb R} x^2 |\Theta_n(x) (F f_n)(x)|^2 dx \leq C^2 $$ para todos los $n$ donde $\Theta_n(x) := \frac{\sin(x/n)}{x/n}$ $Ff_n$ es la transformada de Fourier de $f_n$.

Me gustaría demostrar que $\{f_n\}_n$ es relativamente compacto en $L^2(\mathbb R)$. A partir de la condición en los soportes de $f_n$, sé que $Ff_n$ es suave y uniformemente acotada derivados.

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La siguiente caracterización de relativamente compacto subconjuntos de a $L^2(\mathbb R)$ mantiene: un conjunto $A \subset L^2(\mathbb R)$ es relativamente compacto si y sólo si:

• $A$ es limitada;
• $\int_{\mathbb R-(-R,R)} |f|^2 \to 0$ $R \to \infty$ , de manera uniforme con respecto a $f \in A$;
• $\int_{\mathbb R} |f(x-y)-f(x)|^2 dx \to 0$ $y \to 0$ , de manera uniforme con respecto a $f \in A$.

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La primera condición tiene por hipótesis, y la segunda condición se comprueba fácilmente. ¿Cómo puedo comprobar el tercero?

Answer 1

Contrariamente a lo que traté de hacer en primer lugar, creo que ahora tengo una (completa) el argumento de que su afirmación es falsa.

Permítanme volver a escribir la última hipótesis (la muestra de la ecuación). Desde $\int x^2|\widehat{g}(x)|^2 = \int |g'|^2$, esto realmente dice que ciertos derivados son uniformemente acotadas en $L^2$ (originalmente, voy a tener que definir estos como de la distribución de derivados). Ahora desde $\theta_n(x)$ es el kernel de Dirichlet $D(x)=\sin x/x$, evaluado en $x/n$, e $\widehat{D}=\chi_{(-1,1)}$, y dado que la multiplicación se convolución, el papel de la $g$ por encima que se toma por $$ F_n(x)= n\int_{-1/n}^{1/n} f_n(x+t)\, dt . $$ Así que, para resumir, tenemos que $$ \|F'_n\|_2\lesssim 1 ; \quad\quad\quad\quad (1) $$ esto es equivalente a su asunción.

Si el $f_n$ son también suave, a continuación,$F'_n=n(f_n(x+1/n)-f_n(x-1/n))$, por lo que (1) se convierte en $$ \|\tau_{2/n}f_n -f_n\|_2 \lesssim 1/n \quad\quad\quad\quad (2) $$ ($\tau_y$ denota el cambio por $y$). Ahora vamos a considerar funciones de $f_n$ apoyado por $[-3,3]$, que han golpes de anchura $1/n$ alternando con intervalos de la misma longitud en la que puse a $f_n=0$. La protuberancia en $x=0$ tiene la altura $1$, y a medida que nos alejamos de $x=0$ hacia los extremos de $\pm 3$, las alturas disminución (linealmente) por $1/n$ de un golpe a la siguiente (OK, esto no es fácil, pero por supuesto que puedo aproximado, por lo que este no es un problema).

Aviso, en primer lugar, que tenemos (2): cuando me cambio por $2/n$, cada golpe se moverá exactamente a la ubicación de la siguiente, así que después de tomar la diferencia, $\tau_{2/n}f_n-f_n$ tendrá golpes de altura $1/n$ solamente. Hay $\sim n$ de estos, por lo $\|\tau_{2/n}f_n-f_n\|^2\lesssim n\cdot (1/n)\cdot (1/n)^2 = 1/n^2$, como es requerido por (2).

Asimismo, por un razonamiento similar, también tenemos que $\|f_n\|^2 \lesssim n\cdot (1/n)\lesssim 1$, de nuevo como sea necesario.

Sin embargo, si ahora me cambio solo por $1/n$, después de todos los golpes que de a pares distintos soportes después del cambio, por lo $\|\tau_{1/n}f_n-f_n\|^2 \sim n\cdot 1/n =1$, y esa no es pequeño. La tercera condición de su conjunto de condiciones necesarias y suficientes para la compacidad relativa falla.