Tengo esta cosa notable cuando me dividido $16$$162$, o, en una versión simplificada, $8$$81$. Es $0.098765432098765432\cdots$, o más comúnmente conocido como $0.\overline{098765432}$, con todos los números de un dígito que va hacia atrás...a excepción de $1$. Sí, falta el $1$. Uno, ¿cómo puedo obtener este resultado notable y dos, ¿por qué está perdiendo el $1$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El enlace que @Micah publicado en el comentario a tu post es una buena explicación.
Tal vez también se puede ver por los siguientes cálculos
$$x = 0.\overline{098765432}$$
$$10^9 x = 98765432.\overline{098765432}$$
$$(10^9 - 1)x = 98765432$$
$$x = 8/81$$
En realidad podríamos encontrar el número de $y = 0.\overline{0987654321}$ por una lógica similar.
$$10^{10} y = 987654321.\overline{0987654321}$$
$$(10^{10} - 1) y = 987654321$$
$$y = \frac{109739369}{1111111111}$$
Así que tal vez la razón por la que usted está serie es genial es que tiene un fácil fracciones de la representación y una representación decimal con propiedades interesantes. Interesante repetir la representación decimal es, por supuesto, una fracción y puede ser calculado, pero no puede tener una fácil representación fraccional, como se muestra con $y$.
Matthew Scouten
Puntos
2518
De manera más general, en base a $b$ (cualquier entero $>1$)
$$ \dfrac{b-1}{b^2} + \dfrac{b-2}{b^3} + \ldots + \dfrac{2}{b^{b-1}} = \dfrac{(b-2)(b^{b-1} - 1)}{b^{b-1} (b-1)^2}$$ así que $$ \eqalign{ \dfrac{b-1}{b^2}& + \dfrac{b-2}{b^3} + \ldots + \dfrac{2}{b^{b-1}} + \dfrac{0}{b^{b}} + \dfrac{b-1}{b^{b+1}} + \dfrac{b-2}{b^{b+3}} + \ldots = \sum_{j=0}^\infty b^{-j(b-1)} \dfrac{(b-2)(b^{b-1} - 1)}{b^{b-1} (b-1)^2}\cr &= \dfrac{b^{b-1}}{b^{b-1}-1} \dfrac{(b-2)(b^{b-1} - 1)}{b^{b-1} (b-1)^2}= \dfrac{(b-2)}{(b-1)^2}}$$
Lo que usted tiene es el caso de la $b=10$.
