Cuando es el estabilizador de topológicamente cerrado?

Question

Un ejercicio de Armstrong dice que si el grupo topológico $G$ actúa en el espacio topológico $X$ por homeomorphisms, a continuación, el estabilizador $\text{st}(x)=\{g\in G\mid g(x)=x\}$ es un subconjunto cerrado de $G$.

Si $X$ fueron Hausdorff que esto sería fácil. Pero no se supone que. No he podido probar o encontrar un contra-ejemplo.

Tenga en cuenta que Armstrong se supone $G$ es Hausdorff en su definición topológica de grupo. Y él asume la identidad de $G$ da el trivial homeomorphism, y él asume el mapa de $G\times X\rightarrow X$ es continua.

He buscado en este sitio web y la web en general y no puede encontrar una resolución de esta pregunta, de cualquier manera.

Answer 1

Tomar $G:=GL_2(\mathbb{R})$, $H:=GL_2(\mathbb{Q})$ y $X:=G/H$. Debido a $G$ es un grupo topológico, se induce una topología en $X$ (el cociente de la topología), abrir conjuntos de $U.GL_2(\mathbb{Q})$ donde $U$ es un conjunto abierto de $G$.

La acción $g.(zGL_2(\mathbb{Q})):=(gz)GL_2(\mathbb{Q})$ debe ser continua para el cociente de la topología.

Sin embargo, $Stab_G(GL_2(\mathbb{Q}))=GL_2(\mathbb{Q})$ que es claramente no cerrado.