¿Cómo hace uno para encontrar $$\oint_{|z|=\epsilon} z^{-1}[(z-a)(z-b)]^{1\over 2}\,\,\,dz$$ where $\epsilon>0$ is small and $a,b>\epsilon$ y real.
Mi idea inicial era escribir como $z=\epsilon\exp(i\theta)$, pero luego no funciona porque no tenemos pequeñas términos así que no se puede expandir. También quiero usar el teorema de los residuos. Por favor, ayuda!
La validez del resultado mantiene como tomar sus ramas correctamente. Por ejemplo, si $\epsilon < a < b$, usted puede tomar las ramas (azul para el $a$ verde y para $b$) como
y si $a < \epsilon < b$, entonces usted puede tomar las ramas como
En la parte gruesa, las ramas cancelar, el camino está bien definido y se puede utilizar de Cauchy de la integral fórmula sin problemas,
$$ \oint_{|z| = \epsilon} \frac{\sqrt{(z-a)(z-b)}}{z} dz = 2\pi i \sqrt{(z-a)(z-b)}\Big|_{z = 0} = 2 \pi i \sqrt{ab} $$
Si tanto $a$ $b$ son negativos, el mismo argumento se aplica.
Caso $a < \epsilon$ $b < \epsilon$
En este caso, usted tiene que tomar
$\hskip1.3in$
y luego ver qué pasa con el pequeño ramal que va de $a$ $b$tomando el contorno
$\hskip1.3in$
y hacer el hueco de la parte externa del círculo de ir a cero. El resultado será la contribución de la rama más el polo.
Desde $a,b \geq \epsilon$, se puede suponer que la $((z-a)(z-b))^{\frac{1}{2}}$ es holomophic en $\{z \in \mathbb{C} : |z| \leq \epsilon\}$. Esto funciona debido a que $x^\frac{1}{2}$ puede ser hecho holomorphic en $\mathbb{C} \setminus \{\lambda c :\lambda \in \mathbb{R}, \lambda \geq 0\}$ por cada $c$.
El integrando, por tanto, tiene sólo uno de los polos en cero. Tenga en cuenta que el coeficiente de $z^{-1}$ en el laurent expansión de la serie de el integrando en torno a que el polo es el coeficiente de $z^0$ en la expansión de taylor de $((z-a)(z-b))^{\frac{1}{2}}$, también en torno a ese poste, que es $(ab)^{\frac{1}{2}}$.
Por lo tanto, por el teorema de los residuos, el valor de la integral de contorno es $2\pi i (ab)^{\frac{1}{2}}$.
La cosa es un poco dubios, sin embargo, debido a que la raíz cuadrada no es un bien definida la función es esencialmente una familia de muchas de las funciones $f$ que comparten la propiedad de que la $f(x)^2=x$. Aquí, hemos escogido el más conveniente de estas funciones, y se calcula un valor de la integral de contorno. O si no, otra opción habría llevado a un valor diferente no hemos respondido.
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