Calcular $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\text{arctan}\left(e^{-x}\right)\text{d}x$

Question

Creo que he demostrado que la integral de la $I$ definido por $$ I=\int_{0}^{+\infty}\text{arctan}\left(e^{-x}\right)\text{d}x $$ existe y yo me pregunto ¿cuál es su valor.

La función de $s :x \mapsto \text{arctan}\left(e^{-x}\right)$ es continua y positiva en $\mathbb{R}^{+}$ y $$ \text{arctan}\left(e^{-x}\right)\underset{(+\infty)}{\sim}e^{-x}=o\left(\frac{1}{x^2}\right) $$ La función de $\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x^2}$ es integrable en a $\left[1,+\infty\right[$ $s$ es integrable en a $\left[1,+\infty\right[$ y por la continuidad en $\left[0,1\right]$, $s$ es integrable en a $\left[0,+\infty\right[$.

¿Cómo puedo calcular ?

Answer 1

Set $u=e^{-x}$ por lo que: \begin{align} I:=\int^\infty_0 \arctan(e^{-x})\,dx=\int^1_0 \frac{\arctan(u)}{u}\,du \end{align} Utilizando la serie de taylor de la $\arctan$ obtenemos: \begin{align} I=\int^1_0 \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1} u^{2k}\,du = \sum_{k=0}^\infty \int^1_0 \frac{(-1)^k}{2k+1} u^{2k}\,du = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}=G \end{align} donde $G$ es el catalán es constante. Sin duda el intercambio de la suma y de la integración debe ser justificado. Que se puede hacer fácilmente mediante el hecho de que la serie converge uniformemente en cualquier intervalo compacto en $[0,1)$.

Answer 2

$$ \begin{align} \int_0^\infty\arctan\left(e^{-x}\right)\,\mathrm{d}x &=\int_0^\infty\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{e^{-(2k+1)x}}{2k+1}\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac1{(2k+1)^2}\\[6pt] &=\mathrm{G} \end{align} $$ Como se señaló por Shashi, $\mathrm{G}$ es del catalán Constante.