La evaluación de la integral de la $\int_{-\infty}^{\infty}\ln|x|e^{-x^2}dx$

Question

Aquí está el problema.

Evaluar la integral definida $$I:=\int_{-\infty}^{\infty}\ln|x|e^{-x^2}dx.$$

He hecho buenos progresos, pero soy incapaz de completar la solución. Aquí está lo que he hecho: obviamente, el integrando es par, entonces podemos reescribir la integral como $$ I = 2\int_0^\infty\ln(x)e^{-x^2}dx.$$ Ahora, introduce el parámetro $t$ y definir $$ J(t) := \int_0^\infty\ln(xt)e^{-x^2}dx \implies I=2J(1).$$ La diferenciación bajo el signo integral con respecto a $t$, tenemos $$ \begin{split} J'(t) & = \int_0^\infty\partial_t\ln(xt)e^{-x^2}dx\\ & = \int_0^\infty\frac{x}{xt}e^{-x^2}dx\\ & = \int_0^\infty\frac1te^{-x^2}dx\\ & = \frac1t\int_0^\infty e^{-x^2}dx\\ & = \frac{\sqrt{\pi}}{2t} \end{split} $$ y por lo tanto $$ J(t)=\int J'(t)dt =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\ln(t)+C. $$ Casi parece que vamos a hacer, ya que sólo enchufar $t=1$ nos debe de dar la respuesta. Sin embargo, no tengo idea de cómo encontrar la constante de integración $C$. Los valores usuales $t=0$ e $t\to\infty$ no funcionan, ya que el $\ln(0)$ en el integrando tiende a $-\infty$ e $\ln(t\to\infty)$ va a la $\infty$. Cualquier otro finito valor de $t$ parece ineficiente así. Podría alguien ayudarme a completar mi de la solución o de ofrecer un método diferente?

Answer 1

Para algunos de los diferentes métodos, consulte aquí. Que se cierre con la elección de parámetro, sin embargo no llevan a ninguna parte debido a su constante es la integral original (la que acaba de llegar de nuevo a la plaza de $1$).

Aquí es otro enfoque, vamos a $x^2=t$ para obtener: $$I=\frac12 \int_0^{\infty}\frac{\sqrt t e^{-t}\ln t}{t}dt$$ Now use the following property , and the Laplace transform table to get: $$\mathcal{L}(\sqrt t e^{-t})= \frac{\sqrt \pi}{2} \frac{1}{(s+1)^\frac32}$$ $$\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{\ln s}{s}\right)=-(\ln t +\gamma)$$ Así tenemos: $$I=-\frac{\sqrt \pi}{4}\int_0^\infty \frac{\ln x +\gamma}{(1+x)^\frac32}dx$$ Evaluación: $\displaystyle{\int_0^\infty \frac{1}{(1+x)^\frac32}dx=2}\, $ es fácil de usar que $$\int\frac{1}{(1+x)^\frac32}dx =-\frac{2}{\sqrt{1+x}} +C$$ And for $$\int \frac{\ln x}{(1+x)^{\frac32}}dx$$ Integrate by parts using the integral from above, but plug in the bounds only in the end to avoid convergence issues. Of course you can also consider: $$J(n)=\int_0^\infty \frac{x^{n-1}}{(1+x)^\frac32} dx=B\left(n,\frac32 -n\right)$$ Then differentiate once w.r.t $n$ and set $n=1$ to get: $\displaystyle{\int_0^\infty \frac{\ln x}{(1+x)^{\frac32}}}dx=4\ln 2$

Answer 2

Te diré cómo el Dr. Sonnhard Graubner, probablemente, fue la respuesta. Desde $\int_0^\infty x^t e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{t+1}{2})$, $\int_0^\infty x^t e^{-x^2}\ln xdx=\frac{1}{4}\Gamma'(\frac{t+1}{2})$ e $I=\frac{1}{2}\Gamma'(\frac{1}{2})$.