¿Por qué $E/F$ y $E^\ast$ ¿colectores lisos?

Question

En el capítulo $5$ de Morita Geometría de las formas diferenciales define un haz vectorial real sobre una variedad suave $M$ como un triple $(E,\pi,M)$ , donde $E$ es otro colector liso, $\pi \colon E \to M$ es suave, cada fibra $E_p = \pi^{-1}[p]$ es un espacio vectorial real, y existe la condición de trivialización (que no necesitaremos aquí, supongo).

Luego procede a hacer un montón de construcciones geniales como el haz cociente y el haz dual. Lo entiendo todo, excepto por qué

$$E/F = \bigsqcup_{p \in M} E_p/F_p \quad\mbox{and}\quad E^\ast =\bigsqcup_{p \in M}E_p^\ast$$ son variedades suaves. Aquí, por supuesto, $(E,\pi,M)$ es un haz vectorial sobre $M$ y $(F,\pi,M)$ es un subfondo.

Creo que debo estar perdiendo algún dato básico sobre los colectores lisos, pero en fin, necesito un empujón en este sentido.

Answer 1

El lema 5.5 de la obra Introduction to smooth manifolds de Lee (el lema de construcción de paquetes vectoriales) parece ser lo que necesitas.

Supongamos que $M$ es un colector liso y $E_p$ , $p \in M$ son $k$ -espacios vectoriales reales. Sea $E$ sea la unión disjunta de $E_p$ y que $$\pi : E \longrightarrow M, \; \; \pi(x) = p \; \mathrm{for} \; x \in E_p.$$ Supongamos que nos dan

(i) una tapa abierta $\{U_{\alpha}\}_{\alpha}$ de $M$ ;

(ii) para cada $\alpha$ una biyección $\Phi_{\alpha} : \pi^{-1}(U_{\alpha}) \rightarrow U_{\alpha} \times \mathbb{R}^k$ cuya restricción a cada $E_p$ es un isomorfismo lineal de $E_p$ a $\mathbb{R}^k$ ;

(iii) para cada $\alpha,\beta$ con $U_{\alpha} \cap U_{\beta},$ un mapa suave $$\tau_{\alpha,\beta} : U_{\alpha} \cap U_{\beta} \longrightarrow GL(k,\mathbb{R})$$ tal que $$\Phi_{\alpha} \circ \Phi_{\beta}^{-1}(p,v) = (p, \tau_{\alpha,\beta}(p)v).$$ Entonces $E$ tiene una única estructura de colector liso que lo convierte en un haz vectorial liso de rango $k$ en $M$ , con proyección $\pi$ y trivializaciones suaves $\Phi_{\alpha}.$

La cuestión es que las trivializaciones suaves inducen la estructura del colector, y lo único que hay que comprobar es que todo se pegue correctamente en los solapamientos (condición (iii)). Estas condiciones son sencillas de comprobar tanto para $E/F$ y $E^*$ suponiendo que sean verdaderos para $E$ y $F$ .