Kähler diferenciales de un hyperelliptic curva.

Question

Deje $f:X \rightarrow \mathbb{P}^1_k$ ser un hyperelliptic curva, donde k es un campo de carácter no 2. $\mathbb{P}^1_k$ es la unión de $U = Spec k[t]$ $V = Spec k[s]$ donde $s= 1/t$. Esto nos da $f^{-1}(V) \cup f^{-1}(U) = X$. En la pg. 292 de Liu libro, Liu hace lo siguiente:

1. Él muestra que $U' = Spec k[t,y]/(y^2-P(t)$ donde $P(t)$ no tiene plaza de factores, y que $V' = Spec k[s,Z]$ donde $P_1(s) = P(1/s)s^{2r}$ donde $r = [(deg(P(s)+1)/2]$ $P_1(s)$ es lo que se consigue mediante la restricción (este es sólo el estándar afín abre de la hyperelliptic curva.

2. Él muestra que $\Omega^1_{U'/U} = k[t]/(P(t))$$\Omega^1_{V'/V} = k[t]/(P_1(t))$. Todos los que hasta ahora está claro, pero aquí está mi problema. Entonces escribe:

"Como $\mathbb{P}^1_k = U \cup \{s=0\}$, tenemos $$H^0(X,\Omega^1_{X/\mathbb{P}^1_k}) = k[t]/(P(t)) \oplus k[s]_m /P_1(s)$$ $m = sk[s]$."

Ahora, mi pregunta es: ¿Por qué esta posición en el mundial de secciones? Pensé que el enfoque estándar se acaba de calcular en los dos afín abre y comprobar que coinciden en las intersecciones?

Editar: Tal vez debería usar la contigüidad de la fórmula? Pero no puedo ver cómo realmente.

Answer 1

Como $\Omega^1_{X/\mathbb P^1_k}$ es un rascacielos gavilla, no necesita pegamento, pero acaba de tomar suma directa.