La función que se parece mucho exponencial, pero no es

Question

Estoy buscando una función continua f(x) con las siguientes propiedades. He estado jugando con exponenciales, pero eso no parece ser la respuesta, aunque a mi de matemáticas de la preparatoria es un poco oxidado, debo admitir.

• $f(1) = 2$
• $f(2) = 6 = 2+4$
• $f(3) = 14 = 2+4+8$
• $f(4) = 30 = 2+4+8+16$
• Y así sucesivamente

Estoy buscando una función continua, por lo tanto, algo con una significativa respuesta para $f(2.5)$, que es menor que el $6 + \frac{14 - 6}{2} = 10$.

Mi simple de matemáticas de secundaria me hizo ver algo como $f(x) = a^x$, pero que no parece ser la respuesta.

Mejores ideas?

Answer 1

Tenemos para la secuencia de $f(n)$

$$\begin{align} f(n)&=\sum_{k=1}^n2^k\\\\ &=2^{n+1}-2\tag 1 \end{align}$$

donde concluimos una Progresión Geométrica para llegar a $(1)$.

Por lo tanto, la continuación de $f$ real argumentos es

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{f(x)=2^{x+1}-2}$$

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NOTA:

Hacemos la observación de que la continuación no es única en cuanto le puede agregar cualquier cantidad de funciones continuas que tiene ceros para cada entero. Como ejemplo, la función de $g(x)=2^{x+1}-2+C\,\sin ( \pi x)$ donde $C$ es cualquier constante, es continua para todo valor entero argumentos $n$, está dada por $g(n)=2^{n+1}-2$ desde $\sin (n\pi)=0$ para todos los valores enteros de a $n$.

Answer 2

Si estás equipo de mente, podría parecer natural para expresar estos números en binario, ya que son las sumas de las potencias de dos.

A continuación, verá que son:

$$f(1)=10_2$$

$$f(2)=110_2$$

$$f(3)=1110_2$$

$$f(4)=11110_2$$

y es inmediatamente evidente que la adición de $10_2$ a estas se dan potencias de dos.

Answer 3

SUGERENCIA: $$\sum_{i=1}^n 2^i=2(2^n-1)$$

Answer 4

Las otras respuestas muestran cómo derivar la función de $f(x) = 2^{x+1} - 2$, pero sólo voy a mostrar cómo el problema se plantea (en completa unrigorous términos). Sé por experiencia lo mágico que parece que las respuestas anteriores sólo logrado con el derecho de la función de repente.

Así, nos fijamos en el problema y podemos ver que se está formando un patrón de $2, 6, 14, 30, \ldots$ - ahora bien, esto nos recuerda de algo, todos los números parecen ser aún, pero si se mira con detenimiento todos ellos son $2$ menos que los poderes de $2$. Así que podemos ver que en realidad, la secuencia es en realidad $$2^2 - 2, 2^3 - 2, 2^4 - 2, 2^5 - 2, \ldots$$

A partir de este, es bastante obvio para nosotros que debemos empezar a pensar que este problema está relacionado con algo como $2^{\text{something}} - 2$ y una vez que sabes lo que para llegar a eso hace llegar un todo mucho más fácil, que es donde las otras respuestas.