Es $\cos(\frac{\pi}{3})$ exactamente igual a 0,5 o aproximadamente igual a 0,5

Question

Sabemos que $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$, pero la expansión de $\cos(x)$ es de la siguiente manera:

$$ \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots$$

Así que esto haría

$$\begin{align} \cos(\frac{\pi}{3}) & = 1-\frac{(\frac{\pi}{3})^2}{2!}+\frac{(\frac{\pi}{3})^4}{4!}-\frac{(\frac{\pi}{3})^6}{6!}+\ldots\\ \Rightarrow\frac{1}{2} & = 1-\frac{(\frac{\pi}{3})^2}{2!}+\frac{(\frac{\pi}{3})^4}{4!}-\frac{(\frac{\pi}{3})^6}{6!}+\ldots\qquad{(1)} \end{align}$$

Aquí el $LHS$ es racional, pero el $RHS$ parece ser irracional. Entonces, ¿sería correcto decir que el $\cos(\frac{\pi}{3})$ es aproximadamente igual a $0.5$ o hay alguna prueba de que el $RHS$ en la ecuación de $(1)$ es exactamente igual a $0.5$

Answer 1

Sí hay pruebas de que los $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ exactamente. Es la parte real de cualquiera de los primitivos sexto de la raíz de la unidad más cercana a $1$. Estas son las raíces de la cyclotomic polinomio $\Phi_6(x)=\frac{(x^6-1)(x-1)}{(x^3-1)(x^2-1)}=x^2-x+1$.

Por Vieta de las fórmulas de la suma de estas raíces es $-(-1)=1$, lo $\cos\frac{\pi}{3}$ es la mitad de este.

Tenga en cuenta que la racionalidad/irracionalidad de los términos de una serie infinita no tiene absolutamente nada que ver con la racionalidad/irracionalidad de la suma resultante del valor. Por ejemplo,

$$\pi=3.1415\cdots=3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{5}{10000}+\cdots$$

es una suma de números racionales, sino $\pi$ es irracional. Por el contrario,

$$(1-\pi^{-1})+(\pi^{-1}-\pi^{-2})+(\pi^{-2}+\pi^{-3})+\cdots=1$$

es una serie de irracional términos cuya suma del valor es racional. Como Nishant señala en los comentarios, incluso un finito suma de los números irracionales puede ser racional, por ejemplo,$(1-\sqrt{2})+\sqrt{2}=1$.

Answer 2

Ambos lados son racionales. Ambos lados son iguales a $\frac12$. Esta serie de Taylor converge en todas partes a $\cos x$.

Con sólo poner un irracional valor en $x$ ciertamente no significa que usted debe obtener una irracional valor de la suma de la serie. Después de todo, $$2=e^{\log 2} = 1+\log 2+(\log 2)^2/2!+(\log 2)^3/3! +\cdots$$ sin embargo, $\log 2$ es irracional.

Larga historia corta: Un límite de irrationals no necesita ser irracional.

Otro ejemplo: $\pi^{-n}\rightarrow 0$, e $0$ es racional, sin embargo, cada uno de los términos en esta secuencia son irracionales.