Análisis y técnicas estadísticas

Question

La duración en horas de una luz tubular es una variable aleatoria $X$ que tiene una función de densidad de probabilidad $f(x) = 4xe^{-2x}$ donde $x>0$ . Si $Y= -3X+10$ encuentre el valor esperado de $Y$ y la varianza de $Y$ .

Answer 1

Tenemos $E(Y)=-3E(X)+10$ y $\text{Var}(Y)=(-3)^2\text{Var}(X)=9\text{Var}(X)$ . En general, si $Y=aX+b$ entonces $E(Y)=aE(X)+b$ y $\text{Var}(Y)=a^2\text{Var}(X)$ .

Así que necesitamos la media y la varianza de $X$ . Se trata de problemas de integración directa. Para la media de $X$ queremos $$\int_0^\infty 4x^2e^{-2x}\,dx.$$ Utilizar la integración por partes, dejando $u=4x^2$ y $dv=e^{-2x}\,dx$ . Así $du=8x\,dx$ y $v$ puede considerarse $-\frac{1}{2}e^{-2x}$ . Así que nuestra integral es $$\left. -2x^2e^{-2x}\right|_0^\infty+ \int_0^\infty 4xe^{-2x}\,dx.$$ La primera parte muere en ambos $0$ y $\infty$ . La integral restante es $1$ ya que es la integral de nuestra función de densidad.

Para la varianza de $X$ calculamos $E(X^2)-(E(X))^2$ . Otra integración por partes. Cuando el humo se despeje creo que se dará cuenta de que $X$ tiene varianza $\dfrac{1}{2}$ .

Ahora que conocemos la media y la varianza de $X$ la media y la varianza de $Y$ son fáciles de calcular, como se ha mencionado al principio de esta respuesta.

Answer 2

Tenemos $Y=-3X+10$

Por lo tanto $E[Y]=E[-3X+10]$

$\Rightarrow E[Y] = -3E[X]+10$ (ya que la expectativa es un operador lineal)

Tenemos

$E[X] = \int_{0}^{\infty } x \cdot 4xe^{-2x}dx$

$\Rightarrow \int_{0}^{\infty}4x^2 e^{-2x}dx$

Observamos que esto es equivalente a la transformada de Laplace de $x^2$ con $s=2$

Conocemos la transformada de Laplace de la $\int_{0}^{\infty}t^n e^{-sn}dt$ $\Rightarrow n!/s^{n+1}$

Así $I=\Rightarrow \int_{0}^{\infty}4x^2 e^{-2x}dx= 2!/s^3$

Poner $s=2$ obtenemos $I=1/4$ $\Rightarrow E[X]=1$ $\Rightarrow E[Y]=7$

Podemos encontrar de forma similar $E[Y^2]$ y así $Var[Y]$