pendiente de una línea en un sistema de coordenadas 3D

Question

Supongamos que tengo $2$ puntos en un espacio de coordenadas 3D.

Diga $p_1=(5,5,5)$ , $p_2=(1,2,3)$ . ¿Cómo hallar la pendiente de la recta que une $p_1$ y $p_2$ ? Después de obtener la pendiente (que supongo que será un número entero), ¿cómo obtengo las coordenadas de cualquier otro punto arbitrario de esta línea?

Entiendo que mis habilidades matemáticas no son lo que deberían ser :) pero agradecería cualquier ayuda, o una referencia a algún documento/libro donde pueda aprender los fundamentos de la geometría de coordenadas 3D.

Answer 1

En dos dimensiones, a menudo escribimos una línea de la forma $$y = mx + b.$$

Sin embargo, existen otras formas equivalentes. Dado un punto $(x_0, y_0)$ sobre una recta y la pendiente de la recta, también podemos escribir $$y - y_0 = m(x - x_0).$$

Una desventaja de esta fórmula es que no puede expresar líneas en las que $x$ es constante, por ejemplo, la línea $x=3$ (este problema surge porque hemos definido $y$ en función de $x$ ). Para solucionar este problema, podemos escribir la línea en forma paramétrica: $$\left\{\begin{array}{}y = y_0 + m_yt\\ x = x_0 + m_xt\end{array}\right.$$

Podemos hacer esta fórmula algo más compacta utilizando vector notación:

$$\langle x,y\rangle = \langle x_0, y_0\rangle + t\langle m_x, m_y\rangle.$$

En esta forma, llamamos al vector $\langle m_x, m_y\rangle$ el vector de dirección. Resulta que el vector de dirección es un análogo útil de la pendiente en dimensiones superiores: en dos dimensiones, la relación entre el cambio en $x$ y $y$ es $\Delta x:\Delta y = m_x : m_y$ y esto es cierto incluso si $\Delta x = 0, \Delta y \not= 0$ .

En tres dimensiones, tenemos

$$\langle x,y,z\rangle = \langle x_0, y_0, z_0\rangle +t\langle m_x, m_y, m_z\rangle.$$

Para su ejemplo concreto, podemos elegir $\langle x_0, y_0, z_0\rangle = \langle 5,5,5\rangle$ , $\langle m_x, m_y, m_z\rangle = \langle 1,2,3\rangle - \langle5,5,5\rangle= \langle-4,-3,-2\rangle$ por lo que la línea puede expresarse como

$$\langle x,y,z\rangle = \langle 5,5,5\rangle +t\langle -4,-3,-2\rangle,$$

y la línea tiene el vector de dirección $\langle -4, -3, -2 \rangle$ . Obsérvese que variando el valor de $t$ podemos obtener otros puntos de la línea: $t=0$ corresponde a $p_1$ , $t=1$ corresponde a $p_2$ y otros $t$ corresponderán a otros puntos.

Puede encontrar más información sobre cómo escribir líneas en tres dimensiones como funciones vectoriales aquí .

Answer 2

Al pasar de la geometría bidimensional a la tridimensional, necesitamos tres diferentes pendientes para caracterizar la recta que pasa por dos puntos. Éstas pueden representarse como las pendientes de las "sombras" o proyecciones de la recta sobre cada uno de los tres planos de coordenadas.

El segmento que conecta $\ p_1 \ $ à $\ p_2 \ $ tiene una longitud $\ \sqrt{(1-5)^2 \ + \ (2-5)^2 \ + \ (3-5)^2 } \ = \ \sqrt{29} \ $ . Las "pendientes" , llamadas cosenos de dirección, en el $\ xy- \ , \ xz- \ $ y $\ yz-$ planos son entonces

$$\frac{3-5}{\sqrt{29}} \ = \ \frac{-2}{\sqrt{29}} \ \ , \ \ \frac{2-5}{\sqrt{29}} \ = \ \frac{-3}{\sqrt{29}} \ \ , \ \ \frac{1-5}{\sqrt{29}} \ = \ \frac{-4}{\sqrt{29}} \ \ ,$$

respectivamente. Si no importa si vas de $\ p_1 \ $ à $\ p_2 \ $ o viceversa puedes simplemente tomar los valores absolutos de estos números. (Observa que la suma de los cuadrados de estos valores es igual a 1. )

Existen también otras formas de describir el comportamiento de la línea en el espacio tridimensional. Puedes encontrar discusiones sobre el tema de las rectas y los planos en tres dimensiones como una sección en libros de geometría analítica o cálculo multivariable (esto no tiene mucho que ver con el cálculo como tal, pero es a menudo donde se trata en el plan de estudios), o fuentes en línea.