Integrar $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Question

Tengo que calcular $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \operatorname{d}x$ hacia adelante, utilizando reglas conocidas como la integración parcial o la sustitución.

Lo que estoy no permitido hacer es simplemente mostrar que $\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} x} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ Pero tampoco veo cómo puedo usar la prueba al revés para la integración

¿Algún consejo?

Answer 1

Existe una sustitución estándar en este tipo de situaciones, a saber $x=\sin\theta$ , donde asumimos $-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$ . Entonces $dx=\cos\theta\, d\theta$ y $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{\cos^2\theta}=\cos\theta$ ya que en nuestro intervalo $\cos$ es no negativo.

Así, $$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{\cos\theta}{\cos\theta}d\theta=\int d\theta=\theta+C.$$

Pero $\theta=\arcsin x$ . Ahora se acabó.

Comentario 1 : Lamentablemente, es habitual en las soluciones por no hablar de $-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$ y es un lugar común para no justificar $\sqrt{\cos^2\theta}=\cos\theta$ . Así que en una pregunta de integración, en la mayoría de los cursos de cálculo, la solución sería aún más corta.

Comentario 2 : Obsérvese lo cerca que está este enfoque verdaderamente estándar, en este caso, de la sugerencia de David Speyer. La diferencia es que el profesor de cálculo no lo notaría. La misma sustitución se utiliza en muchas otras integrales que implican $\sqrt{1-x^2}$ y los parientes cercanos se pueden utilizar para las integrales que implican $\sqrt{a-bx^2}$ donde $a$ y $b$ son positivos.

Answer 2

Sospecho que voy a molestar a tu profesor de cálculo al escribir esto pero:

Supongamos que se le plantea el problema de calcular $\int f(x) dx$ . Una pequeña hada viene y te susurra al oído que la respuesta es $g(x)$ . A continuación, se puede calcular esta integral de forma "directa" realizando la sustitución $x = g^{-1}(u)$ . Cuando haces esto, $f(x) dx$ debe convertirse en $du$ que puede integrarse sin dificultad.

Answer 3

Pruebe a sustituirlo por $x = cos(\theta)$ .

Answer 4

Utilizando la sustitución $x=\sin t$ , $dx = \cos t ~dt$ obtenemos:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int \frac{\cos t ~dt}{\sqrt{1-\sin^2 t}} = \int \frac{\cos t ~dt}{\cos t} = \int dt = t.$$

Por nuestra sustitución $x=\sin t$ tenemos $t=\arcsin x$ .

Por lo tanto,

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C.$$