Lo numérico el método de optimización para el uso de esta función?

Question

Con el fin de resolver esta sobre-determinado sistema de ecuaciones numéricamente: $$ f_l(\mathbf x) = \displaystyle \left \lvert \sum_{k=1}^Kx_k^2e^{-j\frac{2\pi}Np_kl} \right \rvert , \qquad P = \{p_1,p_2,\cdots,p_K\} \subconjunto\{1,2,\cdots,N\} $$ $$ f_1(\mathbf x) = f_2(\mathbf x) = \cdots=f_{N-1}(\mathbf x) $$ Le sugerí la minimización de esta función : $$ h(\mathbf x) = \sum_{i=1}^{N-2}\left \lvert f_l(\mathbf x)-f_{l+1}(\mathbf x)\right \rvert^2 $$ Quiero saber cuál es el método de optimización es el más adecuado para esta función? No podía imaginar cómo extremums de $h(\mathbf x)$ se distribuyen, para seleccionar un método de optimización, ¿tiene usted alguna idea?

He representado con respecto a $x_1$$x_2$, para el caso de $\mathbf x \in \mathbb R^4$ y ajuste de $x_3$ $x_4$ una constante. aquí están las parcelas de diferentes puntos de vista:

Answer 1

En primer lugar, observe que puesto que el $f$s son no negativos, $$f_1(x) = f_2(x) = \ldots = f_{N-1}(x)$$ es equivalente a $$f_1(x)^2 = f_2(x)^2 = \ldots = f_{N-1}(x)^2.$$ Este segundo sistema de ecuaciones es mejor ya que cada término es un polinomio de cuarto grado (cuadráticas en $y_k = x_k^2$).

Su enfoque podría funcionar: intentar minimizar la función de $\tilde{h}(y) = \sum (f_{i+1}(y)^2 - f_{i}(y)^2)^2$ utilizando por ejemplo el método de Newton (el Jacobiano y de Hesse son triviales para calcular) y la esperanza de encontrar un mínimo global (un mínimo de residual de cero) y no uno local.

Alternativamente, usted puede tratar especializados paquetes de software para la búsqueda de soluciones a ecuaciones polinómicas, por ejemplo PHCpack.

Answer 2

También puede probar los métodos directos que utilizan sólo los valores de la función para la optimización, por ejemplo, DIRECTA, particle swarm optimization y así sucesivamente. Y, por supuesto, tratar ya está escrito el software en primer lugar.