La existencia de un punto de la satisfacción de una condición dada

Question

Deje $\mathbf{T}=\{z\in \mathbb{C} : |z|=1\}$ $f:[0,1]\to \mathbb{C}$ se continua con $f(0)=0, f(1)=2$. Mostrar que $\exists n\in [0,1]$ tal que $f(n)$$\mathbf{T}$.

Me acerqué geométricamente. Obviamente $\mathbf{T}$ es el conjunto de puntos que están mintiendo en el perímetro del círculo unidad en el complejo de la llanura, centrado en el origen. Ahora la función de $f$ comienza en el origen de tener valor cero, es continua, y en $z=1$, $f(z)=2$. Por supuesto, no hay manera de que una curva continua se mueve de $z=0$ $z=2$sin interceptar el círculo unidad. Así que siempre se puede encontrar al menos una $n\in [0,1]$ tal que $f(n)\in \mathbf{T}$.

Es esta lógica suficiente? Incluso si es así, me pregunto si me puede demostrar analíticamente sin utilizar el concepto geométrico. Creo que el Teorema del Valor Intermedio no será muy útil, ya que no podemos comparar dos números complejos a encontrar que uno es más grande. Entonces, ¿cómo proceder?

Answer 1

Considere la función $g:[0,1]\to\Bbb{R}$ define como $g(x)=|f(x)|$. El módulo de la función es continua, por lo $g$ siendo esta composición con la función continua $f$, también es continua. Como $g(0)=0$$g(1)=2$, por intermedio valor de la propiedad $\exists~c\in(0,1)$ tal que $g(c)=1$, o, equivalentemente,$|f(c)|=1$, por lo tanto $f(c)$ se encuentra en $T$.

Answer 2

Sugerencia. $F(x):=|f(x)|$ es una función continua (por qué?) de$[0,1]$$[0,+\infty)$, de tal manera que $F(0)=0$$F(1)=2$. Tenga en cuenta que $f(x)\in \mathbf{T}$ si y sólo si $F(x)=1$. A continuación, utilice el Teorema del Valor Intermedio para la función real $F$.