La identidad de los Elementos Iniciales en una Categoría

Question

No sé mucho (en realidad nada) acerca de la Categoría de la Teoría Estructural o de la Teoría de conjuntos, pero se me ocurrió a través de este blog , que despertó mi interés. El autor dice:

Pero en Conjunto Estructural de las Teorías, como ETCS y FIADOR, no se puede demostrar la unicidad de los objetos matemáticos, y, en particular, la singularidad del conjunto vacío. En su lugar, un conjunto vacío se define como un objeto inicial en una categoría determinada. (Lawvere (1964) dio el primer categórica caracterización del conjunto teórico universo.) Y mientras que uno puede demostrar que los primeros objetos (exclusivamente) isomorfo, no se puede demostrar que los primeros objetos son idénticos: uno no puede decir que son idénticos.

Así que---al menos como yo lo entiendo ahora---en la categoría de teoría, uno no puede demostrar que, para los objetos de $X,Y$ en categoría $C$, una especificidad de reclamación: $$\big(\operatorname{Initial}_C(X)\land\operatorname{Initial}_C(Y)\big)\to X=Y$$ And this is merely because one can't express identity of objects: $$X=Y\;.$$

Es esto correcto? Qué Categoría de la Teoría (y Estructurales de la Teoría de conjuntos) normalmente lo hacen sin una identidad, predicado entre los objetos? Existen serios obstáculos para la introducción de uno? Si es así, ¿cuáles son?

Answer 1

No, esto es falso. Una categoría primera de todas tiene una clase de objetos, y en relación a un fijo de la formalización de una noción de la teoría de conjuntos con las clases, la igualdad de dos elementos de una clase es un perfectamente bien definido noción.

La penetración de la categoría de la teoría es que, incluso si uno puede hablar de igualdad, en muchas situaciones es mejor que no, y hablando de isomorfismo es mejor.

Answer 2

Así, en la categoría de teoría basada en el "normal" de la teoría de conjuntos no existen inconvenientes de la utilización de la identidad del predicado. Pero en la categoría de la teoría que usted normalmente usa los objetos que se han determinado hasta el isomorfismo y es todo lo que importa.

Tiene objetos y morfismos. Si hay un isomorfismo entre dos objetos, a continuación, que son idénticos desde su punto de vista: no se puede distinguir en ellos en términos de cualquiera de sus propiedades, que pueden ser examinados en su mundo: el mundo de los objetos y morfismos.

No voy a comentar sobre la estructura de conjunto de la teoría parte de la pregunta, ya que no tengo mucho conocimiento al respecto. Pero me gusta la idea de las diferentes vacía de conjuntos - para los especialistas de TI por ejemplo, es muy natural para distiguish entre vacía conjunto de números enteros y el conjunto vacío de reales (flotadores). Y fue muy impactante para mí, cuando vi por primera vez en mi teoría de conjuntos supuesto de que es posible que $\alpha \in \beta$ $\alpha \subseteq \beta$ al mismo tiempo. Afaik, con el tipo de teoría y diferentes vacía de conjuntos de introducir algunos jerarquía y evitar estas patologías.