Cómo mostrar que $\frac{\sqrt{n-1}\Gamma((n-1)/2)}{\sqrt{2}\Gamma(n/2)}>1$.

Question

Mostrar que $$\frac{\sqrt{n-1}\Gamma((n-1)/2)}{\sqrt{2}\Gamma(n/2)}>1$$

Traté de resolverlo mediante expansión en series de Taylor.

Answer 1

En esta respuesta, se muestra que la $\Gamma(x)$ es log-convexa. Por lo tanto, $$ \begin{align} \Gamma\left(\frac n2\right) &\le\Gamma\left(\frac{n-1}2\right)^{1/2}\Gamma\left(\frac{n+1}2\right)^{1/2}\\[6pt] &=\sqrt{\frac{n-1}2}\ \Gamma\left(\frac{n-1}2\right) \end{align} $$ desde $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$.

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Implicación de los registros de la Convexidad

Un log-convexa de la función es una función cuyo logaritmo es convexa. Por lo tanto, si $f$ es log-convexa, tenemos $$ \log\circ f\left(\frac{x+y}2\right)\le\frac{\log\circ f(x)+\log\circ f(y)}2 $$ la eliminación de la $\log$s mediante la aplicación de $\exp$, que es monótonamente creciente, obtenemos $$ f\left(\frac{x+y}2\right)\le f(x)^{1/2}f(y)^{1/2} $$