La separación de las variables de la pde, el problema de Cauchy

Question

Me gustaría saber cómo manejar los siguientes inhibidores de la pde.

Lo que hace que sea difícil para mí, para resolver es el hecho de que tanto las condiciones de contorno para $x$ no son cero.

He aquí la ecuación:

$$u_{tt} - u_{xx} =0, \ \ t \ge 0, \ x \in [0, \pi] $$

$$u(0,x) = 1, \ \ u_t(0,x)=1+x, \ \ x \in [0, \pi ]$$

$$u_x(t,0) = u_x(t, \pi)=0, \ t \ge 0$$

Deje $u(t,x) = T(t)X(x)$

Así que todo se reduce a la solución de los siguientes: $\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T''(t)}{T(t)} = \lambda <0$ (de lo contrario las soluciones son cero)

La próxima me sale que $X_n(x) = A_n \cos (nx), \ \ n \in \mathbb{Z} $ (debido a $X'(0)=0$$X(0)=0$ )

y $T(t)=C \cos (\sqrt{ \lambda}t) + D \sin(\sqrt{ \lambda}t) $

$T(0)=C$

y $u(0,x) = T(0)X(x) = CX(x) = 1$

¿Cómo puede ser?

Me podría decir donde puedo hacer un error y que me ayude a resolver esto?

Gracias!

Answer 1

Los cosenos no son las únicas funciones propias: $X(x)=\text{constant}$ también funciona. Es cierto que en el caso de $\lambda>0$ solo da soluciones triviales, pero se pasa por alto la posibilidad de que $\lambda=0$.