Probando para todos los polinomios de $p(x)=p_0+p_1x+...+p_dx^d$, $ \ \sum^\infty_{n=1}p(a_n)$ converge iff $p_0=0$

Question

La serie $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}a_n$ converge absolutamente.

Probar que para todo polinomio $p(x)=p_0+p_1x+...+p_dx^d$, $\ \displaystyle\sum^\infty_{n=1}p(a_n)$ converges iff $p_0=0$.

Lo que yo hice:

$\displaystyle\sum^\infty_{n=1}p(a_n)=\displaystyle\sum^\infty_{n=1}(p_0+...p_dx^d)=\sum^\infty_{n=1}p_0+\sum^\infty_{n=1}\sum^d_{i=1}p_i(a_n)^i$

Echemos un vistazo a $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\sum^d_{i=1}p_i(a_n)^i$, sabemos $a_n$ converge, elevar a un exponente que no cambia es la convergencia y la escarificador multiplicación tampoco, así que todos los 'elementos' en la suma excepto para $p_0$ convergen.

$\displaystyle\sum^\infty_{n=1}p_0$ siempre divergen a menos $p_0 = 0$.

Answer 1

Básicamente estás a la derecha. La única cosa a tener cuidado es tratar con $\sum_{n=1} ^\infty \sum_{k=1} ^d p_k a_n ^j$. El punto es \begin{align} \sum_{n=1} ^\infty \sum_{k=1} ^d p_k a_n ^j &= \sum_{k=1} ^d p_k \sum_{n=1} ^\infty a_n ^j \\ &\leq \sum_{k=1} ^d p_k \sum_{n=1} ^\infty |a_n|^k \\ &\ll \sum_{k=1} ^d p_kS_k \\ &\leq d \max_{1 \leq k \leq d} p_k S_k < \infty \end{align} donde $S_k$ es finita para todas las $k$. El uso de la absoluta convergen es crucial aquí, como, por ejemplo, $\sum_{n=1} ^\infty (-1)^n n^{-1/2}$ converge pero, obviamente, $\sum_{n=1} ^\infty n^{-1}$ diverge.

Este hecho pone todo el peso de la convergencia de la suma de las $p_0$ y, como usted ha dicho, que es infinito si y sólo si $p_0 = 0$.