Confusión sobre un problema de límite

Question

<blockquote> <p>La pregunta es: evaluar: $$ \lim_{a \to 0}\ \dfrac{ \int^a_0 \ln(1+\tan a\tan x)\ \rm{d}x}{a^3}$ $</p> </blockquote> <p>Mi método: regla de l ' hospital.</p> <p>Que %#% $ #%</p> <p>$$L= \lim_{a \to 0}\ \dfrac{ \int^a_0 \ln(1+\tan a \tan x) \ \rm{d}x}{a^3}$$</p> <p>$$ L= \lim_{a \to 0} \dfrac{ \ln(1+\tan^2a)}{3a^2}$$</p> <p>La solución dada por mi profesor:</p> <p>Que %#% $ #%</p> <p>y $$ \implies L=\dfrac13 $ $</p> <p>$$L= \lim_{a \to 0}\ \dfrac{ \int^a_0 \ln(1+\tan a \tan x)\ \rm{d}x}{a^3}$$</p> <p>$$ I=\int^a_0 \ln(1+\tan a \tan x)$$</p> <p>$$ I=\int^a_0 \ln(1+\tan a \tan(a-x)) \ \rm d x$$</p> <p>$$ I=\int^a_0 \ln\big(1+\tan a \cdot \dfrac{\tan a -\tan x}{1+ \tan a \tan x}\big ) \ \rm d x$$</p> <p>$$ I= \int^a_0 \ln (1+ \tan^2a) - \ln(1+ \tan a \tan x) \ \rm dx $$</p> <p>Así, $$ \implies 2I= \int^a_0 \ln (1+ \tan^2a) $ $</p> <p>$$ \implies I= \dfrac{ a \ln ( 1+\tan a^2)}2$$</p> <p>Para mí, ambos métodos parecen convincentes. No sé donde estoy cometiendo un error.</p> <p>Ayuda es solicitada. Gracias de antemano.</p>

Answer 1

Usted cometió un error a la intgral $F(a)=\int_0^a\ln(1+\tan a\tan x)dx$ $a$ en dos lugares, de modo que, el derecho derivado es $$ F'(a)=\ln(1+\tan^2)+\int_0^a\frac{\partial}{\partial}(\ln(1+\tan\tan x))dx. $$ Que es donde el error viene de. Usted puede realizar el cálculo de la siguiente manera $$\eqalign{ F'(a)&=\ln(1+\tan^2)+\s^2a\int_0^a\frac{\tan x}{1+\tan\tan x}dx\cr &=\ln(1+\tan^2)+\sec\int_0^a\frac{\sin x}{\cos\cos x+\sin\sen x}dx\cr &=\ln(1+\tan^2)+\sec\int_0^a\frac{\sin x}{\cos (a-x)}dx\cr &=\ln(1+\tan^2)+\sec\int_0^a\frac{\sin (a)}{\cos (t)}dt y(t\leftarrow a-x)\cr &=\ln(1+\tan^2)+ \int_0^(\bronceado a- \bronceado t) dt \cr &=\ln(1+\tan^2)+\tan a+\ln(\cos a)\cr } $$ Ahora es fácil ver que $$\lim_{a\to0}\frac{F'(a)}{3a^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.$$