Descomposición primaria de los ideales

Question

Agradecería si alguien pudiera ayudarme un poco con este problema.

Considerando $\mathfrak{p}=(x,y), \mathfrak{q}=(x,z)$ y $\mathfrak{m}=(x,y,z)$ ideales en $k[x,y,z], k$ campo.

Es $\mathfrak{p}\mathfrak{q}=\mathfrak{p}\cap \mathfrak{q}\cap\mathfrak{m}^2$ una descomposición primaria mínima de $\mathfrak{p}\mathfrak{q}$ ?

¿Qué componente está aislado y cuál está embebido?

Te digo lo que he pensado:

Se sabe que $k[x,y,z]/\mathfrak{m}\cong k$ y $k$ campo, por lo que el ideal $\mathfrak{m}=(x,y,z)$ es máxima $\Rightarrow $ $\mathfrak{m}^k$ son $\mathfrak{m}$ -primario, por lo que, en particular $\mathfrak{m}^2$ es $\mathfrak{m}$ -Primaria.

$\mathfrak{p}, \mathfrak{q}$ son ideales primos en $k[x,y,z]$ porque se sabe que los ideales $(x_1,...,x_i), 1\leq i \leq n$ son primos en $k[x_1,...,x_n]$ . Por lo tanto, $\mathfrak{p}, \mathfrak{q}$ son ideales primarios.

¿Cómo podría continuar?

Gracias.

Answer 1

Una descomposición primaria mínima es aquella en la que los radicales de los ideales primarios son distintos y no hay contención entre un ideal primario y la intersección de todos los demás. Me parece que este es el caso de tu descomposición.

Los componentes aislados son $\mathfrak p$ y $\mathfrak q$ ya que son mínimos entre los primos asociados de $\mathfrak p\mathfrak q$ Es decir, $\{\mathfrak p, \mathfrak q, \mathfrak m\}$ , mientras que $\mathfrak m$ es un primo incrustado.