Supongamos que $f:V\to V$ es una transformación lineal tal que $f$ está representada por la misma matriz con respecto a todas las bases para $V$ (es decir, Si $\lbrace e_i \rbrace$ y $\lbrace \bar{e_i} \rbrace$ son bases diferentes para $V$ entonces las matrices que representan $f$ con respecto a estas diferentes bases son las mismas). ¿Implica esto que $f:V\to V$ ¡debe ser múltiplo de la transformación de identidad ?!
Agradezco cualquier ayuda. Gracias de antemano.
Sugerencia : Si $f$ está representado por $A$ con respecto a la base $\beta = (e_1,\dots,e_n)$ entonces se representa por $P^{-1}AP$ con respecto a la base $\overline{\beta} = (\overline{e}_1,\dots,\overline{e}_n)$ donde $P$ es una matriz de cambio de base. Por suposición, se tiene $A = P^{-1}AP$ para todos los invertibles $P$ lo que significa que $AP = PA$ para todos los invertibles $P$ . Utilice esta igualdad con varios $P$ para deducir que $A = cI$ para algunos $c \in \mathbb{F}$ .
@HusseinEid: El cambio de matriz base es único pero tu suposición dice que podemos elegir cualquiera $\overline{\beta}$ y la matriz resultante será la misma. Por tanto, cada $\overline{\beta}$ nos dará un único invertible $P$ (y también al revés) y así para todos $P$ debemos tener $AP = PA$ .
Supongo que para ser completamente riguroso también hay que tener en cuenta la matriz cero, ¿no?
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