¿Por qué ' t $2\pi\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx$ dar la superficie de una esfera de radio $1$?

Question

Posibles Duplicados:
Áreas frente a los volúmenes de revolución

Para la diversión que me decidí a derivar el área de la superficie de una esfera de radio $1$ a partir de la fórmula para el perímetro de un círculo. Esta integral es lo que se me ocurrió:

$$2\pi\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx = \pi^2$$

Por desgracia el valor deseado es $4\pi$. Mi razonamiento era simple pila infinitamente delgada 'hula-hoops' cuyos radios seguido la curvatura de la esfera. Yo no puedo ver fácilmente donde mi conceptual de los malentendidos, alguien puede ayudar a dilucidar ellos para mí? Gracias.

Answer 1

Usted necesita utilizar la superficie para una superficie de revolución fórmula $$2\pi\int \rho\,ds,$ $ donde $ds$ es un elemento de longitud de arco. La manera inteligente es parametriza el semicírculo como sigue, $x(t) = \cos(t)$, $y(t) = \sin(t)$.

Tenemos %#% $ #%

La cantidad $$ds = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} = 1. $ es el radio de la superficie de revolución, que, en este caso, $\rho$.

Para el círculo

$y = \sin(t)$$

Answer 2

Compruebe si esto ayuda: da % de superficie $S$$$ S= \int{0}^{\pi}2\pi rdt$$ Where $$dt=Rd\theta$$ and $$ r=Rsin\theta$$ $\theta$ being the angle of the circle in question . So we get $$ S= \int{0}^{\pi}2\pi R^2sin\theta d\theta $$ $$S= 4\pi$$