Límite de la función logaritmo, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\log \left((n+1)!\right)}$

Question

Determinar $$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\log \left((n+1)!\right)}.$ $ ahora, sé que $\log x

Answer 1

Tenga en cuenta $$(n!)^2=\Bigl(1\cdot n\Bigr)\Bigl(2\cdot(n-1)\Bigr)\Bigl(3\cdot(n-2)\Bigr)\ldots\Bigl((n-1)\cdot 2\Bigr)\Bigl(n\cdot 1\Bigr)\ge n\cdot n\cdot\ldots\cdot n=n^n$ $ (la gráfica de $x\cdot((n+1)-x)$ es una parábola orientada hacia abajo)

Por lo tanto (para $n\ge 2$) $$0\le\frac{n}{\log((n+1)!)}\le\frac{n}{\log(n!)}=\frac{2n}{\log((n!)^2)}\le\frac{2n}{\log{n^n}}=\frac{2}{\log n}\to0$ $ y el límite es $0$ por el teorema del apretón.

Answer 2

Tenemos que $$ \lim_{n\to\infty}\frac n{\log(n+1)!}=\lim_{n\to\infty}\frac n{\log 2+\log3+\ldots+\log(n+1)}. $$ Dado que el logaritmo es una monotonía de la función, podemos estimar que la suma de las integrales de abajo y de arriba de la siguiente manera $$ \int_1^{n+1}\log x\mathrm dx\le\sum_{i=2}^{n+1}\log i\le\int_2^{n+2}\log x\mathrm dx. $$ También, tenemos que $$ \int_1^{n+1}\log x\mathrm dx=(n+1)(\log(n+1)-1)+1 $$ y $$ \int_2^{n+2}\log x\mathrm dx=(n+2)(\log(n+2)-1)-2(\log 2-1). $$ Por lo tanto, $$ \sum_{i=2}^{n+1}\log i\sim n\log n $$ como $n\to\infty$ donde $\sim$ significa que la proporción de las secuencias tienden a $1$$n\to\infty$. Así que el límite en cuestión es $0$.

Answer 3

% De aproximación de Stirling $\log n!=O(n\log n)$.
También $O((n+1)\log(n+1))=O(n\log n)$.

Por lo tanto, $$\lim{n\to\infty}\frac{n}{\log((n+1)!)}=\lim{n\to\infty}\frac{n}{n\log n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n}=0$ $.