¿Cómo se puede relacionar la inversa de un operador diferencial con un operador integral?

Question

De manera informal, el operador integral puede considerarse como el inverso de algún operador diferencial. En algunos casos muy especiales, encontrar la inversa del operador diferencial es equivalente a encontrar la función de Green. Por ejemplo, si el operador diferencial $A$ se define como $$Au:=au''+bu'+cu,$$ entonces en algún BVP, se puede tener $$A^{-1}f(x)=\int_{0}^1g(x,y)f(y)dy$$

Si uno sabe que $A^{-1}f=(I-\partial_{xx}^2)^{-1}\partial_xf$ , cómo se puede convertir en la forma anterior, es decir, escribirla como una integral?

Resolviendo una EDO, se puede encontrar $(I-\partial_{xx}^2)^{-1}$ . Sin embargo, cuando se trata de $(I-\partial_{xx}^2)^{-1}\partial_x$ las cosas se complican.

¿Existe alguna regla general para tratar con este tipo de problemas?

Answer 1

Para los problemas lineales de coeficiente constante, se puede utilizar la transformada de Fourier.

Toma $P$ para ser un operador diferencial parcial lineal de coeficiente constante arbitrario en $\mathbb{R}^n$ . Asociado a $P$ es su símbolo polinómico $p(\xi)$ . Formalmente, se puede tratar un operador diferencial parcial lineal de coeficiente constante como un polinomio en las derivaciones parciales habituales $\partial_{x^i}$ . Decimos que un polinomio (de coeficiente complejo) $p(\xi)$ en $\mathbb{R}^n$ , donde $\xi = (\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n)$ es el símbolo de $P$ si insertamos formalmente $p(i\nabla)$ recuperaremos el operador $P$ .

Algunos ejemplos, para la derivada parcial $\partial_{x^1}$ , se obtiene $-i\xi_1$ . Para el Laplaciano $\sum_{i = 1}^n \partial_{x^i}^2$ , se obtiene $- \sum_{i = 1}^n \xi_i^2$ .

La razón por la que nos preocupamos por el símbolo es porque son agradables bajo la transformada de Fourier. En concreto, la transformada de Fourier de $Pf(x)$ (decir $f$ es la clase Schwartz) es precisamente $p(\xi)\hat{f}(\xi)$ .

Así que para si $f$ y $u$ son funciones de Schwartz tales que $$Pf = u$$ obtenemos $$p\hat{f} = \hat{u}$$ tomando la transformada de Fourier de ambos lados, y como ahora $p$ es un polinomio, podemos dividirlo por $$\hat{f} = \frac{1}{p} \hat{u}$$

Ahora bien, si $\frac{1}{p}$ fuera en realidad una función de Schwartz, entonces podemos tomar la transformada de Fourier inversa en ambos lados y utilizar que la transformada de Fourier intercambia productos y convoluciones, para llegar a $$f = \check{(p^{-1})} * u$$ y su núcleo de convolución $g(x,y)$ no es más que lo que da la transformada inversa de Fourier $$g(x,y) = \check{(p^{-1})}(x-y)$$

Lamentablemente, ya que $p$ es un polinomio, $1/p$ nunca puede estar en la clase de Schwartz. Hay dos problemas. El primero es genérico: como $p$ es polinómica, $1/p$ puede tener como mucho un decaimiento polinómico cerca de $\infty$ por lo que nunca puede ser de "rápida descomposición", como exigen las funciones de Schwartz. Esto, sin embargo, puede enmendarse normalmente considerando la ampliación del dominio de la transformada de Fourier para incluir distribuciones templadas . (En algunos casos, incluso se puede utilizar el $L^2$ teoría de la transformada de Fourier). El segundo problema, algo menos genérico, es el de los ceros de $p$ . Cuando $p$ tiene un cero, $1/p$ tiene una singularidad, y por lo tanto no es suave, y por lo tanto no está en la clase de Schwartz. La cuestión de cómo tratar este problema ha impulsado gran parte del análisis armónico de mediados del siglo XX, y ha conducido al estudio de integrales singulares .

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Una discusión sobre las integrales singulares está más allá del alcance de este artículo. Y para la teoría de la distribución sugiero el libro de Friedlander y Joshi. En su caso particular, el operador $(I - \partial^2_{xx})$ tiene el símbolo $1 + \xi^2$ Para no tener el segundo tipo de problema descrito anteriormente. El único problema es que el símbolo de $(I-\partial^2_{xx})^{-1}\partial_x$ es $(-i\xi)/(1 + \xi^2)$ que ni siquiera es $L^2$ . Así que tendrás que utilizar la teoría de las distribuciones para obtener el núcleo de convolución.

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Por último, el método de la transformada de Fourier depende en gran medida de que su dominio sea toda la línea real (o alguna $\mathbb{R}^n$ ). Para los problemas de valores límite no funciona tan bien. En el caso del intervalo, se pueden utilizar algunos métodos de series de Fourier (considerando las cosas en un círculo), pero tiende a interactuar de forma extraña con la prescripción de los valores límite.

Answer 2

Este tipo de problemas se tratan con la teoría de los operadores pseudodiferenciales. Una larga historia...

Puede encontrar un buen debate en un hilo de MO reciente .