Una ecuación funcional de una olimpiada de matemáticas regional (Dhaka regional, 2017)

Question

Pregunta : Para cualquier número racional$x$ y$y$,$f(x)$ es un número real y:$$f(x+y) = f(x)f(y) - f(xy) +1$ $ Nuevamente,$f(2017) \neq f(2018)$ y:$$f\left(\frac{2017}{2018}\right) = \frac{a}{b}$ $ donde$a$ y$b$ son primos comunes. Encontrar $a-b$.

Intentos : Lo he intentado durante varios días, pero no tengo ni idea de cómo resolverlo. Probé la sustitución y obtuve algunos datos inútiles:$$f(0) = 1$ $$$f(-x^2) = f(x)f(-x)$ $$$f(-1) = 0$ $$$f(2x) = [f(x)]^2 - f(x^2) + 1$ $ ¿Puede alguien ayudarme con este problema, por favor?

Answer 1

Supongamos $f(1)=r$. También, conectar $y=1$ da $f(x+1)=f(x)\cdot(r-1)+1$, por lo que $$f(2) = 1-r+r^2\\ f(3) = 2r-2r^2+r^3\\ f(4) = 1-2r + 4r^2 - 3r^3 + r^4$$ Ahora plug $x=y=2$ y vamos a terminar con una ecuación en $r$. $$2f(4) = f^2(2)+1\\ 2(1-2r + 4r^2 - 3r^3 + r^4) = (1-r+r^2)^2+1\\ -2r + 5r^2 - 4r^3 + r^4 = 0\\ r(r-1)^2(r-2)=0 $$ Ahora,

• $r=0$ da una pseudo solución de $f(2n)=1,\;f(2n+1)=0$, lo que conduce a una contradicción más adelante;
• $r=1$ da una posible solución de $f(n)=1$ que es descartado por la condición de $f(2017)\ne f(2018)$;
• $r=2$ parece ser la única opción posible, y también el que sabe cómo tratar.