Contraejemplo para el normalizador siendo un subgrupo normal.

Question

Deje que$G$ sea un grupo, y$H$ a subgrupo.

Se define el normalizador de$H$:$N(H):=\{g\in G| gHg^{-1}=H \}$.

Probar$N(H)$ es un subgrupo normal de G, o dar un contraejemplo.

Intuitivamente me parece que esta afirmación es incorrecta, sin embargo, estoy teniendo problemas para encontrar un contraejemplo.

Thans por adelantado para cualquier ayuda!

Answer 1

El normalizador de cualquier subgrupo no trivial adecuado de un grupo simple también funcionaría. ¿Puedes ver por qué?

Answer 2

Un contraejemplo fácil y concreto es cualquiera de los tres subgrupos del pedido$2$ en$S_3$.

Answer 3

Para cualquier grupo finito$G$ y cualquier$p$ - subgrupo de Sylow$P \leq G$ se cumple lo siguiente:

Cada subgrupo$U$ con$N_G(P) \leq U \leq G$ satisface$N_G(U) = U$.

Especialmente cada normalizador$N_G(P)$ proporciona un contraejemplo a menos que$P$ sea normal en$G$. ¿Puedes pensar en ejemplos de subgrupos de Sylow que no sean normales?

Answer 4

Sea$G=\langle f,r : f^2 = r^8 = 1, rf =fr^7 \rangle$ el grupo diedro de orden 16, y deje que$H=\langle f \rangle$. Luego$N_G(H) = \langle f,r^4 \rangle$ y$N_G( N_G(H) ) = \langle f, r^2 \rangle$ y$N_G( N_G( N_G(H) ) ) = \langle f,r \rangle =G$.

En otras palabras,$H$ no es normal, tampoco lo es su normalizador, pero el normalizador del normalizador es normal.

Al usar grupos diédricos de orden$2^n$, puede crear cadenas arbitrariamente largas de normalizadores no normales que eventualmente terminan siendo normales.